feb­bra­io 2024 -Una prova che non si può rifiutare

Lo pro­pon­go di nu­o­vo, alla sin­te­si del mio sag­gio, in uno sche­ma sim­bo­li­co in­tro­dut­ti­vo, che mi sem­bra u­ti­le a rap­pre­sen­ta­re il rap­por­to tra qua­dra­to, π na­tu­ra­le e cer­chio, con­si­de­rando volutamente il π come re­la­ti­vo ad un solo quar­to per vol­ta, os­sia 3,14…× ¼.
Sul­la base di un rag­gio R pos­sia­mo co­stru­i­re sia un arco di 90°, che un qua­dra­to con lato R, che lo cir­co­scri­ve.

Ogni me­da­glia ha il suo ro­ve­scio

Se puoi accettare per un attimo il valore del π naturale [3,1446055…] pro­po­sto dalla mia ricerca, scoprirai che non solo un qua­dra­to

con pe­ri­me­tro:	3,1446055110296931442782342932803
da cui il lato:	0,7861513777574232860695585
avrà area Φ:	0,6180339887498948482045868

Naturalmente un quadrato con la stessa area del cerchio avrà il lato = ⁴√Φ

Sof­fer­mandosi sul ter­mi­ne "ra­di­ce qua­dra­ta", se ne può de­dur­re fa­cil­men­te il du­pli­ce sen­so, ri­fe­rendolo alla fi­gu­ra del qua­dra­to, la sola em­ble­ma­ti­ca per que­sto tipo di o­pe­ra­zio­ne: ‘ra­di­ce’ ne in­di­ca il lato, ‘qua­dra­ta’ ne in­di­ca il mo­to im­pli­ci­to nel rap­por­to tra il lato del qua­dra­to e la sua su­per­fi­ce, che mol­ti­pli­ca il lato per se stes­so; ma come in natura, ne indica anche il sor­gere.
Da quan­to stia­mo os­ser­van­do nel­le due fi­gu­re, due vol­ti di una ve­ri­tà con­di­vi­sa sul cri­na­le del­la se­zio­ne au­rea, po­trem­mo ar­go­men­ta­re un primo stra­or­di­na­rio e­nun­cia­to per il qua­le:

Un cerchio con la stessa area Φ del quadrato, ha raggio = 0,443325897 e circonferenza = 2,788170071589; ma in particolare, l'area del cerchio di pe­ri­me­tro π cioè 0,7861513777574232860695585 divisa per il rag­gio del cerchio con area Φ: 0,4433258897 è = √π.

aprile 2025 - Come in uno specchio

A quattro anni dall'inizio di questo sforzo, mi ispira una rinnovata curiosità, che potrebbe meglio focalizzare un enunciato definitivo.

Prima di procedere devo appellarmi alla pazienza di chi legge, poiché que­sta, ed altre mie pagine, sono ormai una miscela di articoli ‘di prima e di dopo’, non sempre ordinati come vorrei. Il fatto è che nuove ve­ri­fi­che fluiscono di continuo, più rapide che non il redigerle in testi e fi­gu­re, e mentre ad ogni passo dovrei ristrutturare buona parte del lavoro, di fatto posso solo dar la precedenza su tutto alla loro im­por­tan­za, ac­con­ten­tandomi di inserirle dove è più pertinente.
Diversamente nulla di quest'ampia ricerca, dalla Quadratura del Cerchio alle Spirali Auree con reciproci rimbalzi, tornando alla Grande Piramide con inattesi annessi e connessi, avrebbe potuto prendere forma. Le aree di testo in verde qua delimitano gli ultimi apporti.

Quanto ho svolto sopra è stato avviato per la misura perimetrica di π, che si può considerare insegna del cerchio. Lo ritenevo un lavoro concluso, se non altro per la sua evidenza, mentre rivedendolo a distanza dalla mia stes­sa sorpresa, mi rendo conto di aver trascurato proprio l'altra faccia della me­da­glia, quella all'insegna del quadrato.
Detto, fatto: se 3.14 rappresenta il cerchio, 4 rappresenta il quadrato.
Ed ecco, applicando alla circonferenza valore 4, un'ennesima prova di ir­ri­pe­ti­bi­le ri­spon­den­za; forse a questo punto scontata, ma che ob­bli­ga a mas­si­ma­men­te riflettere.
A fronte di detto quadrato,

In breve, il quadrato di lato = 1 e perimetro = 4 ha area = 1;
una circonferenza = 4 delimita un'area = √ φ,
mentre il quadrato ad essa circoscritto ha area φ.
La ratio, come nel primo caso esaminato, qua è √ φ / φ, ovverosia sem­pre 0,78615137775742328606955858584295 [√ Φ]; con la dif­fe­ren­za che se nel caso parametrico inferiore all'unità il rapporto e­sa­mi­na­to era di quadrato/cerchio di ugual perimetro, (che ov­via­men­te si attesta an­che con 1 / √ φ – la monade del π) ora, sotto l'impulso di una nuova spin­ta, abbiamo aggiunto il rapporto cerchio/quadrato cir­co­scrit­to, dan­do luogo ad un enunciato ancor più significativo:

Con circonferenza = 4, il cer­chio è ra­di­ce del qua­dra­to circoscritto

Una sorta di punto eutettico che rafforza la relazione intrinseca tra l'es­sen­za delle due figure; quasi magico, come lo è il punto di sezione au­rea, al di sotto o sopra del quale nulla avviene di tale rilievo.
Casi differenti dicostano i valori delle aree in progressione più o meno esponenziale, pur mantenendo costante il suddetto rapporto
Chiave del connubio tra il cerchio, unità in­dif­fe­ren­zia­ta di moto per­pe­tuo senza inizio né fine, concentrato a cui tutta la ge­o­me­tria fa capo, ed il rallentamento fino alla fissità della forma in e­span­sio­ne, nelle 4 di­re­zio­ni fondamentali.
Elementare, come ogni verità essenziale. Dal punto di vista lineare:
dia­me­tro × π ÷ diametro × 4  |  per le aree: raggio2 × π ÷ diametro2,
approdano alla costante universale 0.78615, per la quale mi sono com­pia­ciu­to di proporre durante uno scambio di opinioni presso a­ca­de­mia­.edu la denominazione Platinum ed il simbolo , e che è √ Φ ed ¼ del π.
Superfluo completare il quadro precisando che se è il cerchio ad avere area = 1, l'area del quadrato circoscritto sarà 1/ , cioè √ φ.

	dividendo il perimetro per il nostro π, avremo
diametro cerchio:	4 / 3,1446055110296931442782343433718
che è già la √ φ	= 1,2720196495140689642524224617375
e /2 dà raggio:	0,63600982475703448212621123086875
Stante la mia visione del rapporto stretto tra quadranti di cerchio e quadrato, non mi resta che moltiplicare × 4, o × π, l'area del quadrato avente per lato il raggio del cerchio con lo stesso perimetro 4. Questa modalità non sarebbe necessaria, avendo il diametro come base virtuale del quadrato ottenuto con la somma circolare dei 4 quarti-quadranti; che poi non è che il quadrato circoscritto al cerchio. In ogni caso, ricalca la formula classica per l'area del cerchio: π × r2
per il quadrato:	4 × 0,40450849718747371205114670859141
si ha l'area totale	= φ, da confrontare con quella del cerchio
che è appunto:	0,4045084971874737120… × π = √ φ

In aggiunta, cercherò ora di approfondire l'insolito enunciato in evidenza, forse il maggior traguardo a cui questa procedura doveva condurre.
Credo di poter sostenere che sia proprio questa la strada più significativa da se­gui­re, alla scoperta della profonda comunione quadrato-cerchio.
Una comunione basata senza dubbio sul fattore 4, che entrambi li sostiene, fornendo con due assi (cartesiani, solo per intenderci) quadruplice cardine comune. Ciò vuol dire che la trasposizione da una figura all'altra non deve ri­cercarsi attraverso contrazioni di assi, lato o raggio, come nel caso di u­gua­le area, ma per una proiezione concettuale che ne valorizzi il carattere me­ta­fi­si­co, o rapporto tra con­cen­tra­zio­ne e dilatazione, che rispetti la croce di base esplodendo la forza del cerchio fino all'area delimitata dai vertici del qua­drato.
La potenzialità del cerchio in quanto argomento dinamico, è una promessa di espansione, non di contrazione; al contenimento provvederanno i vertici an­go­la­ri delle quattro direzioni degli Elementi, contrapposte e com­ple­men­tari.
Delle 4 fasi che compongono il cerchio, ciascun arco di quadrante scocca il suo dardo dotato di precisa e distinta valenza, matematica e fisica.
Se la fin­zio­ne è chiara e benaccetta, è lecito riproporre il cerchio come se vir­tual­men­te non potesse mai risolversi o dissolversi in un quadrato di pari e­sten­sio­ne, ma soltanto in una sorta di trasposizione bilanciata, da Nord a Sud, da Est a Ovest.
È questo che si può ben dire emblema di Quadratura del Cerchio con un sen­so degno della Divina Proporzione e ad essa appartenente; qualunque altra prospettiva non rap­pre­sen­ta che un rompicapo geometrico, fino a ieri destinato alla polvere.
Nonostante questo risvolto esoterico che ha radici in profondità (gioco di parole non casuale), nell'impulso collettivo ha sempre prevalso l'im­me­dia­to bisogno di aver ragione della sfida, di aree o perimetri uguali dall'una al­l'al­tra figura, complicando una mera speculazione, la meno adatta a con­dur­re da qualche parte.
La prima figura ripete quan­­to di più ov­vio e dif­fu­so nel­le im­ma­gi­ni di pre­sun­ta qua­dra­tu­ra del cer­chio, an­che se nes­su­na di esse, con il 3.1415, potrà cor­ri­spon­dere al vero.
Costituisce però uno stimolo vivo, credibile – poiché il cer­chio è vivo – e l'idea di poterlo tradurre in quadrato è affrontabile senza ulteriori valutazioni, se non l'ambizione della riuscita.
Nel caso in esame, al contrario, è come se l'arco BD dividendosi per scoc­cas­se da C la freccia del suo potenziale fino al 4° vertice E, che delinea l'area con la quale il set­to­re tracciato CBD sta in un rapporto regolato dalla costante, come 3.14460 ÷ 4.
Una favola difficile da formulare e rac­con­ta­re, an­cor più da ren­de­re ac­cet­ta­bi­le, ma che di­ven­ta mol­to cre­di­bi­le a con­ti fat­ti, an­che se il gli­fo che ho in­sce­na­to la ren­de co­me può. Ha il pre­gio però, di far me­di­ta­re un mag­gior si­gni­fi­ca­to del­la ma­e­sto­sa Rosa dei ven­ti, su cui non ci si era mai fer­ma­ti; ma dove la si­ntesi di cer­chio ­/ pun­ti car­di­na­li è di una e­vi­den­za innegabile (per noi an­go­li e lati del qua­dra­to, fuori dal cerchio).
L'immagine a lato dal museo galileiano pare precorrere il nostro assunto. Oggi, ove il raf­fron­to tra e­spres­sio­ni del­la na­tu­ra con ge­o­me­tria e nu­me­ri è più che mai in auge, me­ri­ta­no at­ten­zio­ne so­prat­tut­to le for­ze mag­giori.

Si rivela così il sublime momento matematico, di quel rapporto Assoluto in cui l'UNO si divide con la Φ per potersi produrre in una realtà sterminata di forme in equilibrio, che si mol­ti­pli­ca­no secondo φ, e si riflettono animate dal π che è all'origine di ogni mo­vi­men­to. Per approfondire questo condensato di im­ma­gi­ni dall'aria esplosiva del Big Bang, posso solo proporre l'articolo e­sclu­si­vo dedicato ad una con­ce­zio­ne ap­pro­fon­di­ta della Sezione Aurea. Tutto questo rende la Quadratura del Cerchio non solo la cosa più naturale del mondo – e così deve essere – ma un autentico ca­po­la­vo­ro del­l'In­tel­li­gen­za Creatrice, poiché definisce più che mai il rapporto intrinseco e de­ter­mi­nan­te tra il cer­chio ed il quadrato.
Infatti a parità di ampiezza (equivalendo il diametro al lato del quadrato) il paradigma soddisfa appieno il risvolto semantico già accennato in quanto l'area del cerchio elevata al quadrato diventa quella del quadrato cir­co­scrit­to, e questo sul valore assoluto della sezione aurea.
Va saputo riconoscere in quanto tale, ma è una cosa che potrà essere ap­prezzata sol­tan­to una volta compreso ed acquisito il legame tra π e Φ.
Tanto da poter sostituire con que­sta nuova prospettiva il concetto a­bi­tua­le di quadratura del cerchio, alla ricerca di una corrispondenza paritetica che non a­vreb­be condotto alla maggior comprensione; e lo sottolinea quella fu­or­vian­te esibizione ac­ca­de­mi­ca ormai storica di Lindemann, che pur facendo comodo a molti, non poteva colmare l'implicita lacuna di 0.00301.

• se val­ga più il cer­chio di cir­con­fe­ren­za (e π ) 3,14460… che si ri­flette nel qua­dra­to alla per­fezione, ciò che l'at­tua­le progresso del π do­vreb­be aver quan­to­me­no sug­ge­ri­to.
• o si opta per un cer­chio di cir­con­fe­ren­za 3,1415… che non cor­ri­spon­de al qua­dra­to, i­gno­ran­do tout co­urt la me­ra­vi­glia qua e­spo­sta?
  rinunciare ad una tale melodia in nome di un costrutto di ripiego?
  Cosa può succedere ad es. nel calcolo di traiettorie spaziali con cifre ap­pros­si­ma­te o errate?

aprile 2025 - il Gap

Ancora per come la vedo io, il π cor­ren­te dopo tan­to pel­le­gri­na­re nei me­an­dri più con­tor­ti ed il­lu­so­ri, si è i­nol­trato fino alle mura del­l'a­gognata me­ta, ma gli manca la chiave per accede­re, poiché la chiave è proprio il π.
Tuttavia non è un demerito, se si ri­co­no­sce che il π rap­pre­sen­ta un tra­guar­do ma­te­ma­ti­camente in­de­fi­ni­bi­le, se non un ba­luar­do in­sor­mon­ta­bi­le dal­l'in­tel­li­gen­za ra­zio­na­le; e non per ragioni di trascendenza, giacché an­che il Φ lo è, eppure non vi è nulla di più facile da dimostrare e ri­pro­durre.
Ritornando allora al tema di righello e compasso, se associamo l'algebra al righello, il compasso è senza dubbio π, e nessun righello può rim­piaz­zarlo.

Allo stato di avanzamento attuale si trat­ta di uno scarto di soli 3.01 mil­le­si­mi (0.1965 per il π da ¼), in­va­li­ca­bi­le alla luce del­le po­si­zio­ni ­tradizionali.
Ci si può chiedere se siano troppi per essere accettabili, o se siano troppo pochi per preoccuparsene.

Provate a visualizzare una bella e semplice bolla di sapone, splendida, indifesa e rarissima espressione dell'equilibrio congenito, che si li­bra nel­l'aria riflettendo l'ambiente e i colori della luce sul suo brillante velo li­qui­do in movimento continuo, mantenuto nella sua forma perfetta dal­le leggi gravitazionali o elastiche ma­ni­fe­ste dal π nativo.
Ora supponete per un istante di poterlo so­sti­tu­i­re con il π pre­cal­co­la­to; non immaginate cosa accadrebbe?
La bolla scoppierebbe in una sterminata miriade di micro-goccioline, tali da far pensare a più di quanti fossero i 131k lati-segmenti del­l'ul­ti­mo poligono di simulazione inscritto nel cerchio…
Non è forse verosimile che la continuità dinamica molecolare o persino inter-atomica della superfice non possa mai essere supportata dalle mol­tis­si­me facce piane dell'ipotetico poliedro, i cui soli vertici ne ver­reb­be­ro a contatto?

Il mondo accademico può solo avvalersi di verifiche indirette, come la por­ten­to­sa esibizione testé ri­co­stru­i­ta, che è di un'evidenza insostituibile ed ir­ri­nun­cia­bi­le; e prima ancora, quella del Divino Triangolo Aureo, da me sve­la­­to per primo nel 2002 con il mio trattato «Il Segreto dei 5 Riti Ti­be­ta­ni» nelle sue più evidenti proprietà, rimosso da un esperto di Wiki­pedia perché ina­de­gua­to, ma solo 12 anni più tardi compreso ed illustrato nel suo senso più profondo, e­le­va­to ed incontestabile.
Comunque non fu un danno tale da far risentire 11 anni di ritardo ad una co­no­scen­za di 20 secoli…
A dispetto dell'attore infatti una tale esibizione di ‘dotta ignoranza’ non po­tè che esaltare il concetto di autoevidenza, di quelle primizie speciali come si­gil­li della Verità creatrice, che la Natura elargisce a chi le sa leggere, e che mi ha con­dot­to al traguardo più decisivo.
Un po' come la Mela di Isaac Newton, per cui niente si vedeva.
Inscritto nello stesso cerchio di raggio 0.5, il Divino Triangolo reca infatti al­l'a­pi­ce della forma, sia Φ e φ, che il giusto π che enuncia nei suoi lati.

Si potrà pur obiettare che tutto ciò non comporti alcuna dimostrazione, ma quan­te altre casualità conosciamo, che possano affiancare o diluire que­sti, ri­du­cen­do­ne l'impatto inevitabile?

L'AREA DEL TRIANGOLO È IN DIVINA PROPORZIONE Φ2 CON L'AREA DEL CER­­CHIO CHE LO CONTIENE CON PE­RI­ME­TRO DI 4 VOLTE IL SUO LATO; ED EQUI­VA­LE A QUELLA DEL CERCHIO DI DIAMETRO Φ TANGENTE AI SUOI DUE LATI.

Potremmo negare semmai una rispondenza così completa fra questo trian­go­lo, terzo tesoro della geometria, ed il cerchio con area definita dal π per ec­cel­len­za, il solo che può determinare il rapporto aureo tra le due figure?

Niente si sarebbe potuto condensa­re in modo più conciso, completo ed e­sclu­si­vo che in questo simbolo cosmico.

Passato o futuro, la forza del 4 è nel π × ogni stagione

Sappiamo bene che la definizione del π è sorta dalla necessità di calcolare il cerchio visto nella sua interezza; ma se ciò non impedisce di scoprire che una sua quarta parte equivale non solo ad una delle suddette componenti del­l'u­ni­tà, ma anche ad una costante che regola

Si può così constatare come il vero π svolga la sua funzione equilibrante non solo in fisica presso il moto delle particelle e quant'altro, ma allo stesso modo nel mondo dei numeri, come matrice della sezione aurea nella du­pli­ce ma­ni­fe­sta­zio­ne di accrescimento e diminuzione, in senso spaziale e forse temporale.

In ogni caso – riconosciuto il Π fondamentale – si rivela come sia una unica l'U­ni­tà di mi­su­ra o Fonte a cui fa­re riferimento, la chiave che racchiude ed o­ri­gi­na sia il nostro 4π che Φ e φ: è la cifra 0,78615137775742328606955858584296 a cui sem­bra­no bastare 5 de­ci­ma­li, se non altro perché i due successivi smi­nu­i­sco­no e giustificano l'ap­pros­si­ma­zio­ne, in una ricerca di Fisica ai suoi primi passi.
Come ho proposto all'inizio, avvicinarsi al cerchio secondo il ritmo di 4 qua­dran­ti denota che l'equilibrio si forma dalla contrapposizione.
Tra l'altro 3.14460 / 4 è esattamente = 0.78615, che elevata al quadrato ri­spet­ta i primi 5 decimali di 0,61803, due più di quelli comunemente ap­pli­cati.

Gli appassionati del Pi Day potrebbero essere felici di realizzare che si tratta di assaggiare una fetta dopo l'al­tra della torta, non tut­to il dolce in una volta ;o)

A proposito, non posso non notare quanto sia curioso che alla data di questa pa­gi­na, la configurazione planetaria ed a­stro­lo­gi­ca sia tanto si­mi­le a quella del giorno in cui nacque il Pi Day, per la rara di­spo­si­zio­ne unilaterale dei pianeti su una sola metà del cerchio. Perdura a lungo e per far con­­ten­ti tut­ti riproduco quella del prossimo 14 Marzo.

1. Essa fa uso delle prime tre per designare mese e giorno della ri­cor­ren­za, istituzionalizzata 21 anni dopo a livello internazionale.
2. Allo stesso modo, ho adottato le successive due cifre ad indicare Ore e Mi­nu­ti dell'evento, necessarie ai fini del calcolo simbolico della Carta.
   Se non altro è la più coerente tra le svariate manipolazioni numeriche, pro­po­ste come folcloristiche ipotesi per offrire questo pi day alla co­mu­nità.

Exploratorium museum of science – San Francisco CA

In ogni caso è la straordinarietà dell'Ascendente a 3°14' che in ve­ri­tà può lasciare solo a bocca aperta: 1 / 21.600 possibilità, per un a­scen­den­te a 3°14' di A­qua­rio, il segno zodiacale che ca­rat­te­riz­za l'era e­vo­lu­ti­va tan­to at­te­sa per la pre­ces­sio­ne degli equinozi; laddove l'ascendente in Sa­git­ta­rio non riveste nel te­ma alcun sen­so par­ti­co­lare.
Nemmeno il suo ideatore avrebbe potuto immaginare tanto.

Se si può dare spicco al fatto che Albert Einstein sia nato il 14 marzo – un fatto che pochi post rinunciano a citare – merita considerare che si trattava di 1÷365 possibilità, mentre quella che stiamo vedendo attenendoci alle prime tre cifre dell'ascendente, è 1÷21.600, oltre alla corrispondenza del Segno pre­ces­sionale; se poi valutiamo con quanta maggior facilità si ot­ten­ga­no i 46", sia­mo a 1÷1.296.000 !
Dovrei forse chiedermi come mai proprio ieri sera ho guardato un allegro film del 1937, il cui titolo italiano è tradotto “La via dell'impossibile”, culminante in una stanza di albergo numero 314; o se rivesta un'affinità a pi e pie il nome inglese pier, molo di residenza del nuovo Museo?
Come ho detto, non dimostra niente e non avrà mai una spiegazione.
È persino incoerente, giacché la riferita sede del Museo è stata dislocata nel 2013, il Pi day ideato nel 1998 e dichiarato ufficiale nel 2009; ma qua si serve un cocktail tra ingredienti eterogenei, simboli incentrati sul valore nu­me­ri­co e storico della cifra, accostati come in un puzzle astratto senza pre­te­se, sti­mo­la­to da curiosità dopo il pi day, ma con uno stupefacente ed in­su­pe­ra­bi­le ri­sul­ta­to. Indubbiamente ce n'è per tutti i gusti!
È successo, e chiunque può riprodurlo con i parametri ed una app adeguata.

Forse la matematica non è solo calcolo e regolamentazione di numeri for­ma­ti da tutte cifre indifferenziate, ma cela un paradigma metafisico di valori e ma­ni­fe­sta­zio­ni la cui connessione intima sfugge alla piatta logica ra­zio­nale.

Auguri quindi di un gioioso Pi Day, con una torta giusta per sempre!