Leggi che richiedono una vita per comprenderle,
la geometria le risolve al momento stesso in cui
le raffigura. Dove risiede quell'Intelligenza?

Tracciare un quadrato di lato AB
con [un] cerchi[o] a raggio invariabile?
Solo un cerchio di raggio AB lo può generare!


Square From Circle
è replicandosi quattro volte
che il cerchio dà forma ad
un quadrato
Al tracciato per il triangolo e­qui­la­te­ro si ag­giun­ge la bisettrice che u­ni­sce i pun­ti C ed Y di intersezione dei due cerchi, ed un cerchio con il cen­tro in C - passante per A e B - che in­ter­se­chi in X la CY.
Il tratto CX è evidentemente uguale ad AB, ma fruibile solo come rag­gio per un nuovo cerchio con cen­tro in X, che incontrerà le due cir­con­fe­ren­ze iniziali in D ed E, validi a di­mo­stra­re tout court il com­ple­ta­men­to del qua­dra­to ABDE pro­fi­la­to dal [raggio del] 1º cerchio, delineando al suo in­ter­no il quarto di cer­chio esatto, premessa alla finale acquisizione del π geometrico enunciato da questo studio.
Un aspetto in­te­res­san­te che ne deriva è che questo schema offra la pos­si­bi­li­tà, par­ten­do da un triangolo equilatero ACB, di tracciare il qua­dra­to a­ven­te uguali lati.
Non mi adoprerò per una superflua dimostrazione algebrica, essendo il mio intento evidenziare come il cerchio si avvalga di un'interessante sim­me­tria orizzontale e verticale insieme, la prima basata sui due centri, l'altra de­ci­si­va sulle circonferenze, per una sorta di partenogenesi del 3º da XC, come dire un segno di croce, sin­cro­niz­zan­do per quattro volte l'impiego di ‘sé stesso’, ov­ve­ro­sia con un'u­nica mi­su­ra­zio­ne di base, per dare luogo a quel­lo che, se­con­do un π che scopriremo alla fine del trattato, cor­ri­spon­derà ad un quarto del cerchio pur valendo per l'intero.

Come nel suo aspetto immanente l'unità circolare manifesta la sua ci­cli­ci­tà in quat­tro fasi ben distinte, in un periplo or­bi­ta­le come pure in un'onda si­nu­so­i­da­le, così ritengo di dover concettualizzare, o essere in­dot­to a pen­sa­re al­le quat­tro entità in gio­co come se condensassero la loro es­sen­za com­bi­na­ta e riflessa in ciascuno dei lati del quadrato, tra­du­cen­do­la in una unità fi­ni­ta, suf­fi­cen­te ad in­di­vi­dua­re e distillare tutta la chiave me­ta­fi­si­ca π, l'arte di co­niu­ga­re nel di­ve­ni­re i ritmi del tempo a quel­li dello spazio.
È innegabile in tale diagramma il rapporto molto stretto tra cerchio e qua­dra­to: una circonferenza basata sul suo stesso lato, si moltiplica per quattro in un mo­vi­men­to cruciforme, per produrre un quarto di quel quadrato che ge­o­me­tri­camente la riveste e con la quale si identificherà grazie al π de­sun­to a con­clu­sio­ne della nostra ricerca; quasi che la sua valenza venisse ri­pro­po­sta da ciascuno dei quattro orientamenti.
Come già esposto a pag.14 del trattato «2×2=3,14»

Se il triangolo è tre [spirito], il quadrato è quattro [materia] e il pentagono è cinque [trasformazione], dovremo pensare il cerchio come Uno [Sorgente dell'essere]
con il centro zero, ed in tal modo attribuire il due alle estremità del semplice segmento [dualità, transito, polarità, raffronto, connessione].
Ogni punto, come gli estremi del segmento, è il centro di un cerchio potenziale, che rappresenta tutto ciò che gli sta intorno; ma se virtualmente il numero di cerchi è infinito, uno solo è quello che definisce anche il segmento, ed è il cerchio che attraversa l'altro estremo, facendone il suo raggio. Pertanto, lo ‘sdoppiamento’ dell'Unità in due cerchi non può che assumere una valenza attuativa della realtà lineare tangibile.
Anche se non ne abbraccia tutta l'ampiezza, come pure in ogni figura a­ven­te un numero di lati maggiore di 4, se mi è concesso poter considerare il raggio del cerchio - l'unica misura che lo definisce, che lo traccia e che lo calcola - come il suo ‘lato’, as­si­mi­landolo a quello di ogni altra figura po­li­go­na­le, si ma­ni­fe­sta senza com­pro­mes­si quel rapporto dinamico dall'uno al quattro.

È in questo senso che si evince la necessità essenziale di quattro cir­con­fe­ren­ze di pari raggio per delimitare il quadrato e per contro, giacché la fi­gu­ra ri­sul­tan­te è ¼ di ogni cerchio, ne occorreranno quattro per com­ple­ta­re il cer­chio intero.
Sarà solo un gioco di parole? può darsi; ma si applica unicamente a questa so­lu­zio­ne che rende anche la più ambìta.
Mi ha fatto riflettere per giornate intere, essendo il più efficente e compatto tra tutti gli schemi per profilare un quadrato, e a quanto mi risulta non è mai sta­to raggiunto prima d'ora in questo modo, a differenza del triangolo e del pen­ta­gono.

area: π r2perimetro: 2 π r
Lo conforta il profilo algebrico per il quale, facendo riferimento ad ¼ di π, si scan­di­sce l'area con (r×r) × π /4 e l'arco di circonferenza con (r+r) × π /4.
Fin dalla conclusione del primo lavoro sull'argomento («2×2=3,14», con­fi­den­zial­men­te: “due per due uguale a tre e uno quattro”), mi convinco sem­­pre più che per capirlo veramente, il π vada ricondotto al quarto di cerchio.
Mi sforzavo nella mente di rendere palese una siffatta intuizione, fintanto che la geometria stessa mi è giunta in aiuto:

Si può osservare come il sistema di cerchi che conglobano il quadrato risulti a loro volta natura­l­mente inscritto in un quadrato che li delimita su tutti i lati. Infatti le sue dimensioni dipendono dalla doppia e uguale for­ma­zione di due cerchi, sia orizzontale che verticale, arrangiata in modo che esso corrisponda alla proiezione del quadrato virtuale costruito e centrato sulla croce CX-AB, attraversandone le diagonali e i vertici; una so­lu­zio­ne sor­pren­den­te per la sua unicità e che, rispettando le premesse con­te­stua­li, appare ir­rag­giun­gi­bi­le senza pas­sa­re per il quadrato ABDE; quasi de­sti­na­ta a rimanere un mistero.
Ancora un dato degno di nota è che il lato del quadrato circoscritto ha lun­ghez­za pari a tre volte AB, come si verifica dalla tangenzialità ai due cer­chi cen­tra­ti sui suoi estremi. Lo stesso accade per i due da C ed X.
Con i quattro cerchi così disposti avevamo quindi definito virtualmente an­che il quadrato che li avvolge, che si può reinterpretare come la dominante la­ten­­te dell'insieme.

Quattro cerchi uguali e sim­me­tri­ci (compasso) - tre centrati ai ver­ti­ci di un tri­an­golo e­qui­la­te­ro di identico lato;
due segmenti risultanti a croce (righello) - quello orizzontale è di a­per­tu­ra, il ver­ti­ca­le è risolutivo.
Sembra un man­da­la sul quale meditare!

Sample square From Circle È, comunque lo si interpreti, il più af­fa­sci­nan­te paradigma di come il cer­chio possa ge­ne­ra­re il quadrato di una dimensione vo­lu­ta, o che abbia un lato nel suo raggio, as­sai più che passando per riga e com­pas­so, data la sua intrinseca proprietà virtuale.
Per disegnare semplicemente un quadrato avrei potuto utilizzare il me­to­do a lato, da AB a C ed Y, per poi da D e B incrociare il ver­ti­ce E; o un altro oc­ca­sio­na­le e pla­u­si­bi­le, ma che cosa ci avrebbero insegnato? Inseguire vertici e lati di una fi­gu­ra non sem­pre corrisponde ad esplorare la Mente creativa, per va­lo­riz­za­re la dif­fe­ren­za tra Intelligenza madre e per­cor­so ge­o­me­tri­co speculativo.
Mentre il primo è un'integrazione viva di cerchio e quadrato, il secondo è so­lo un trac­cia­men­to di un quadrato mediante più usi del compasso.

Un risvolto esoterico da non trascurare …

la Vesica-Piscis aleggia in p.za S. Pietro
del Vaticano, ancorché in modo inesatto, essendo meno probabile una distorsione prospettica dal satellite.
è il fatto che tale soluzione tragga le fondamenta dalla universalmente ce­le­bra­ta figura chiamata Vesica Pi­scis, nota anche come "mandorla mi­sti­ca", sim­bo­lo della Dea Madre o l'Eterno Femminino, tramandata al­la base di di­ver­se etnie, dall'antica Me­so­po­ta­mia all'Africa e dall'India alle civiltà a­sia­ti­che, infine a varie culture Eu­ro­pee, per le sue im­pli­ca­zio­ni plastiche e mi­ste­rio­so­fi­che ma anche ma­te­ma­ti­che. Infatti la scis­sio­ne che dal cerchio Uno genera la du­pli­ci­tà creativa, in quanto regolata dal triangolo ai centri ed ai punti di intersezione, nonché, al suo centro o­riz­zon­ta­le, dalla stes­sa 3 - ossia CY, su AB = 1 - e con essa la po­la­ri­tà di positivo e ne­ga­ti­vo, Yin e Yôn, (o Ying Yang) è con­si­de­ra­ta come la sor­gen­te, padre/madre, di tutte le forme immanenti, e già questi brevi passi paiono con­fermarlo; è sostanziale ri­le­va­re da questo in­trec­cio e per coerenza se­man­ti­ca, come essa sia ge­ne­ra­ta dal triangolo, per poi dare vita o sostanza al qua­drato.
Senza contare che tramite op­por­tu­ni reticoli ricavati dai suoi punti di in­ter­se­zio­ne essenziali, e sempre secondo le regole iniziali consentirà di mi­su­ra­re geometricamente le radici quadrate dei numeri da 2 a 10!
In pratica, la relazione tra i primi due cerchi si riproduce in altri due, dando luogo ad una seconda Vesica Piscis intorno a CAB, imperniata a 90° su un lo­ro punto di in­con­tro, C nella figura sottostante, che consente di trac­cia­re il tri­an­go­lo equilatero in­scrit­to, senza dover prolungare AB fino a T.

Rimane da ram­men­ta­re quel­la che è ve­ro­si­mil­men­te la più si­gni­fi­ca­tiva e­vo­lu­zio­ne della fi­gu­ra base di due cerchi che, con l'ag­giun­ta o­riz­zon­ta­le di un ter­zo cer­chio con centro sulla cir­con­fe­ren­za del 2° e sim­me­tri­co al 1°, portato in ro­ta­zio­ne ri­pe­tu­ta di 60°, svi­lup­pa in qualsiasi di­re­zio­ne il co­sid­det­to ‘Fiore della Vita’

Dalla vescica metafisica al pesce
Con il prolungamento la­te­ra­le dei due archi minori fino ad incontrare i due ver­ti­ci in­fe­rio­ri del nostro quadrato - dan­do luogo a quegli archi di cerchio che ri­marcano il π - si va a dotare la vescica na­ta­to­ria della co­da che com­ple­ta il pro­fi­lo di quel ‘pe­sce’, as­sun­to fin dagli albori come sim­bo­lo del­la cri­stia­ni­tà e chia­ma­to “Ichthys”, os­sia “pesce” nel greco an­ti­co, di­ve­nu­to l'a­cro­ni­mo che dis­si­mu­la­va:
"Iesus Christos Theios Yios Soter", cioè "Gesù Cristo di Dio Figlio Sal­va­tore".
Un attributo che peraltro, in quanto alla precessione degli equinozi, ec­heg­gia i trascorsi 2000 anni per la corrispondente era zodiacale dei Pesci. Basta esaminarne la figurazione, sia nella sua forma ideografica:che de­­scrit­ti­va:, per rendersi conto della coerenza simbolica, rappresentativa di quanto stia­mo studiando.
Da notare che a differenza dal font qua riprodotto, nell'iconografia classica i due pesci risultano collegati da un'unica lenza, o comunque da una sorta di cintura, concetto rispettato dai simboli pur con un semplice trait d'union, ma quasi del tutto ignorato da quegli illustratori che probabilmente non se ne fa­reb­be­ro una ragione. Un'apparente nonsenso, che invece la spiegazione ce l'ha! Eccone una minuscola rassegna catturata dal Web, comunque rara:

È dunque quel quadrato nella sua posizione a portare in atto per l'era cri­stia­na la grande potenzialità del simbolo.
Rileva altresì dallo stesso diagramma la risultanza fin troppo inosservata del triangolo equilatero CYT, originato dalla Vesica Piscis, il cui lato in­scrit­to nel cerchio di raggio 1 è la ra­di­ce qua­dra­ta di 3.
Come dire che il lato di tale triangolo equivale al lato di un quadrato con area 3, un modo che evidenzia come la scienza dei numeri evochi da presso la ge­o­me­tria e le implicazioni me­ta­fi­si­che del quadrato.
In generale, il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza ha sem­pre valore 3×r e la sua altezza è ¼;(2×r) o 1,5×r.
L'impianto qua rivelato ne garantisce in modo e­sclu­si­vo la fattibilità di­ret­ta ed im­me­dia­ta, pro­get­to assai più laborioso da realizzare diversamente, an­che sen­za seguire la nor­ma qua proposta, cosa che sembra giustifichi il pro­li­fe­ra­re di disegni a mano libera.
Si potrebbe anzi notare a questo punto che ciascuno degli archi misura 150°, non lontano dal tanto argomentato numero 153, che persino sui Van­ge­li [Gio­van­ni ¶21:11] viene citato come numero di pesci nella rete, per un miracolo voluto da Gesù. Pur non essendo mio intento ricamare sulle no­te­vo­li virtù ma­te­ma­ti­che del 153, non posso non soffermarmi a suggerire ai ricercatori che una misura speculare di 150 (la cui somma numerologica è 3, da 1+5+1+5 ), dunque intessuta ed unificata da un triplo 3, detta somma = 3, la radice qua­dra­ta di 3 ed il triangolo portante, possa ritenersi integrata nel caso speciale dalla cifra 153.
La portante triangolare che do­mi­na lo schema mi ha in­dot­to ad approfondire ul­te­rior­men­te il costrutto, ed ec­co emergere una so­lu­zio­ne an­­cor più stringente fatta di, e dedicata a soli tre cerchi, ca­pa­ci di dar luogo e con­te­ne­re in duplice assetto lo stes­so im­man­ca­bi­le qua­dra­to.
Lo suggeriva infatti la base del triangolo equilatero maggiore, che in­ter­se­ca nel punto X il terzo cerchio centrato sull'incontro di CY con AB (centro di tutta la figura); ma in realtà solo come esito di una analisi grafica com­po­si­ti­va che, pur non essendo praticabile con righello e compasso, essendo i­de­al­men­te educativa sotto il profilo simbolico merita di essere osservata. .
Come il diametro del 3° cerchio, pas­san­te per CY interseca in Y il 1° cer­chio [con centro in] A, così il dia­me­tro di que­sto, passante per AX per pa­ral­le­li­smo di­mo­stra­to dalla sim­me­tria dei due cerchi, incontra in X il cerchio cen­tra­le ove XY è ¼;AB, per estendersi ad E che si unisce a D alla base del cer­chio B.
Ne deriva che il cerchio B sviluppa la triangolare simmetria che ci regala la per­pen­di­co­la­re ad AB quale diametro verticale del cer­chio A, quindi i lati del doppio quadrato sottostante e soprastante, nonché i sim­metrici sul cer­chio opposto.

A dirla tutta, non saprei dire quale delle due perle sia la più preziosa, per di­mostrare la simbiosi quadrato~cerchio che mi sono prefissato.
Oserei affermare che se la prima il­lu­stra­va una sorta di gestazione del qua­dra­to, im­per­nia­ta sul quaternario, que­st'ul­ti­ma ne rap­pre­sen­ta il doppio con­ce­pi­men­to per ri­fles­so del ternario; ed è proprio per questo che ho inteso illustrarla.
Entrambe svelano in modo profondo il pro­ce­di­men­to atto a certificare la sacralità ge­o­me­tri­ca ed e­so­te­ri­ca della Vesica Piscis - emblema del pro­ces­so cre­ativo - e del­l'Ich­thys, al di là dei gad­gets più o meno improvvisati alla moda.

A questo punto però si impone la ri­go­ro­sa distinzione: mentre la prima so­lu­zio­ne - processata in figura a lato - pre­sen­ta tutti gli e­stre­mi per il trac­cia­men­to te­o­ri­co, della seconda non è fat­ti­bi­le tracciare il 3° cerchio, man­can­do ogni riferimento al punto a cui e­sten­de­re il compasso, una volta col­lo­ca­to sul nuo­vo centro.
Anche se si è stabilita dall'inizio la re­go­la di un'apertura fissa, utilizzarla ad hoc po­treb­be contraddire il canoni della nor­ma­le prassi; tuttavia non e­sclu­de­rei che questo contribuisca ad esaltare il carattere trascendentale della formazione.

32 + 42 = 52
Pentagono da 5 Cerchi Pur non tralasciando il fatto che il quadrato è lo scrigno nativo del­la Se­zio­ne Aurea, per e­vi­den­zia­re la quale avevo già trac­cia­to il Pen­ta­go­no concavo e con­ves­so com­bi­nan­do Φ e φ, non poteva man­ca­re quella so­lu­zio­ne del Pen­ta­go­no che in­te­gras­se con al­tret­tan­ta e­le­gan­za i pre­sup­po­sti te­­sté af­fer­mati, par­ten­do dai due cerchi A e B.
È ap­pron­ta­ta, grazie al 3º cer­­chio con centro in Y, dalle cui in­ter­se­zio­ni E e D in­cro­cian­do la x si giun­ge ai cen­tri­-ver­ti­ci F e G e da que­sti al vertice del pentagono na­tu­ral­men­te con cinque cerchi. Pentagono a stella con 3 Cerchi
Ma non è tutto. Anche se quat­tro sa­reb­be­ro sufficenti pro­lun­gan­do la YC fino ad in­ter­se­ca­re un quar­to cer­chio nel punto w, non mi fer­mo qua, potendo ot­te­ne­re una stella che quasi si co­stru­i­sce da sola, e che da con­ca­va de­fi­ni­sce il verso con­ves­so, ancora una volta con tre soli cer­chi.
L'intersezione D del 3º cer­­chio at­tra­ver­san­do il punto x rag­giun­ge il 1º cer­­chio in E, da cui il trat­to EB - che è già un lato del­la stella - interseca il 2º cer­­chio (cen­tro in B) nel punto e, che a sua volta consente di pro­lun­ga­re Ae fino all'apicale pun­to w e di unire altri due lati a G, lascio sce­glie­re come…

È il caso di precisare che, nel simbolismo astrologico, le due forme del pen­ta­go­no sono sinonimi di produzione e trasformazione, mediazione, e­vo­lu­zio­ne: la figura con­ves­sa è innovativa e creativa, la concava è di­strut­ti­va o so­sti­tu­tiva, componenti necessarie al divenire.
Un'im­por­tan­te nozione che sfugge tutt'ora alla maggior parte degli astrologi, pur es­sen­do stata pubblicata e resa nota da The Watch Publisher fin dalla sua prima Agenda Astrologica Personalizzata (1992), poi divulgata da AstroTime (2012) accompagnando più di una previsione storica basata su tali relazioni orbitali. Riassunto un esempio in una mail dell'epoca, tutto l'articolo originale (con aggiornamenti progressivi) è leggibile presso il server con date cer­ti­fi­cate.

A conclusione di quanto abbiamo visto, la pro­ce­du­ra di rigore proposta al­l'i­ni­zio, pur avendo trovato da sempre l'implicita soluzione per il triangolo, ed in più di un modo applicazioni note per il pentagono, non aveva mai in­con­tra­to risposte per il quadrato, rimasto oggetto di costrutti facili quanto su­per­fi­cia­li, nonostante le sue implicazioni più emblematiche ed universali car­di­ni della realtà ad ogni livello di studio e conoscenza.

nuovo inserto 2023 - un anno dopo
La matematica non è fatta di numeri ma di concetti,
che collegano la realtà fenomenica a fattori numerici.
Nondimeno, se le suddette soluzioni rappresentano un valido esempio di ge­o­me­tria pratica, dalla mia ricerca avanzata – introdotta al paragrafo se­guen­te – emergerà la maggior valenza di quella che definirò GEOMETRIA ES­SEN­ZIA­LE, arte in natura, essendo lo scenario in cui la Sezione Aurea esprime la sua fun­zio­ne continua e dominante, della quale la sintesi più eloquente si con­den­sa in que­sta figura:
– l'impianto aureo completo dei 5 poligoni fondamentali –
un clic evidenzia la miglior soluzione aurea del pentagono
e le molteplici corrispondenze auree con il rettangolo

Lo schema, qua dimostrato in assoluta anteprima, oltre al passaggio dal qua­dra­to di base al rettangolo aureo, contiene il costrutto dei passaggi ABC, dal ret­tan­go­lo aureo al grande triangolo aureo con vertice C, ma prima an­co­ra con ABv al ver­ti­ce v del triangolo aureo ALv che gli è interno (e vir­tual­men­te ne sintetizza la proprietà), per poi dalle in­ter­se­zio­ni x degli ar­chi ALE con cen­tro in A ed il suo simmetrico da L, de­fi­ni­re la linea x–E i cui pro­lun­ga­men­ti in­ter­se­can­do gli archi stessi pun­tua­liz­zano i vertici del pen­ta­go­no im­pli­ci­to alla pro­por­zio­ne applicata.
Da non tralasciare la costruzione simultanea del la­te­ra­le trian­go­lo, ad es: AEv pure aureo e che chiamerò terziario, con fun­zio­na­li­tà in­ver­sa: non la base sezione aurea di ogni lato ma ogni lato se­zio­ne aurea della base, che verrà scomposto in altri due e­qui­va­len­ti con le basi sui lati del pentagono convesso.
Ancor più elegante per entrambi, sarebbe bastato intersecare gli archi da L e da A con rag­gio LA con quelli da L e da A con raggio AB.

Come un paio d'ali dispiegate…
Mantengo stringata la descrizione per non appesantire questa figura ma­gi­ca, un vero monumento che parla da solo. Nota anche che il segno + in­ter­no alla figura, visibile con clic, indica il centro esatto del rettangolo aureo.
Applicando sul lato sinistro uno schema aureo capovolto, con il quadrato di lato corrispondente all'altezza del triangolo ADC, sùbito rappresentato nel sito in­di­ciz­za­to al paragrafo seguente, si va a definire il cerchio che cir­co­scri­ve il grande triangolo, con tutta la gamma dei cerchi aurei concentrici, me­ra­vi­glio­si per le reciproche proprietà.
il rettangolo aureo “poligono irregolare”?
Lo studio che mi sforzo di presentare è quello di un prospetto geometrico integrativo, volto a focalizzare in modo sempre più impegnato ed avanzato la valenza poco esplorata – nonostante le molteplici riproduzioni fittizie che po­po­la­no il web – in matematica come in geometria, e per meglio dire nel­l'in­sie­me naturale, della sezione aurea non a caso chiamata Divina Pro­por­zione.
Fin dal 2002, con la realizzazione del primo Sri Chakra yantra ge­o­me­tri­ca­men­te esatto nei secoli assieme alla parallela scoperta delle straordinarie com­po­nen­ti del Grande Triangolo Aureo interno alla piramide di Giza, al do­mi­nio eye-of-revelation.org si sono aggiunti domini di 3° livello: sriyantra com­ple­men­ta­re allo studio esoterico geometrico del mandala, gol­den­-ratio­.eye-of-revelation.org con una prima rassegna del topico, unitamente ad uno studio sui trucchi posti in campo da Leonardo da Vinci per ar­ro­ton­da­re il ce­le­ber­ri­mo Uomo di Vitruvio, con la relativa soluzione aurea effettiva; il presente pi-day­.eye-of-revelation.org che sviluppa il principale tema del π, il cui ul­te­rio­re svi­lup­po ha con­dot­to ad un suc­ces­si­vo golden-spiral.eye-of-revelation.org che reca la soluzione integrale teorica e praticabile on line, nonché i­nat­te­se sco­per­te in merito alle proprietà dello sviluppo della spirale aurea e ‘spiraloide’.
L'esposizione interessa una geometria ‘primitiva’, incardinata su tre cifre: 3, 4, 5, fondamenti di ogni costrutto più o meno elementare, a partire dal terorema di Pitagora; non si rifà a dei concetti di infinito, che probabilmente alberga solo nella mente di chi lo immagina, in­quan­to­ché nella dimensione rallentata (ov­ve­ro­sia della materia in cui siamo immersi e scientificamente credenti) nul­la di infinito potrebbe esistere.

B.C. – RETTE PARALLELE E GEOMETRIA NON EUCLIDEA
“Lo sai che le rette parallele non si incontrano mai?”,
“scommetto 5 arselle che si incontrano”,
“ci sei, rompi…!”, “ecco, prendiamo un bastone per uno …
(canzoncina prendingiro)”, “e piantala!”
“guarda là! si INCONTRANO!.., 5 arselle prego!”,
? * “beh, adesso dacci un taglio!”

Per lo stesso motivo neppure la retta esiste – se non un parto del­l'im­ma­gi­na­zio­ne – ma solo il segmento, cioè il tratto più breve che unisca due e­stre­mi, co­mun­que si intenda calcolarlo. Per come la vedo io, dibattere sul pa­ral­le­li­smo di due rette è uno spreco di energie che ol­tre­pas­sa il com­pia­ci­men­to; e se così fosse, ne sono state spese molte, senza mutare l'as­sun­to iniziale…
La realtà deve essere compresa per quella che è, mentre inventarla può solo deviare dalla stessa, nonché dal rigore che la stessa scienza si impone.

Si sa che per definizione i poligoni regolari sono solo quelli convessi e­qui­la­te­ri ed equiangoli; ma valutando il rapporto privilegiato, del tutto unico del ret­tan­go­lo aureo, quale mediatore del quadrato dal gran­de triangolo aureo al pen­ta­go­no con­ca­vo e convesso, sorge ormai spontanea la necessità di met­tere a fuoco una nuova a­de­gua­ta vi­sio­ne e di­stin­zio­ne delle tre figure, dotate di pe­cu­lia­ri “regolarità” alla radice di tutte le manifestazioni.
Il ret­tan­go­lo infatti pur es­sen­do e­quian­go­lo ma non e­qui­la­te­ro, in luogo di tale qualità impeccabile vanta quel­la non meno si­gni­fi­ca­tiva di ma­tri­ce au­rea che ne idealizza la fun­zio­ne, po­i­­ché oltre a con­te­ne­re il qua­dra­to che lo de­ter­mi­na, dà forma e spe­ci­fi­ca cor­ri­spon­den­za ad altre in una chiave as­sai più rap­prentativa che delle figure piane pres­so­ché inerti.

Questo schema presenta una map­pa in qualche modo innovativa, ma in un'ottica più ve­ro­si­mi­le del reale.
classificazione dei poligoni basilari
in geometria classica e/o essenziale e
i 40 triangoli componenti il pentagono

Se infatti a fon­da­men­to del­la ge­o­me­tria eu­cli­dea (il cui sim­bo­li­smo è quel­lo che con­­ta, an­che se lo spa­zio è cur­vo, giacché la loro pro­ie­zio­ne sim­bo­li­ca è i­na­lie­na­bi­le) clas­si­fi­chiamo tre po­li­go­ni re­go­la­ri de­ri­va­ti in mas­si­ma sin­te­si dal­le in­te­ra­zio­ni di [un] cer­chi[o] a rag­gio co­stan­te, co­me ab­bia­mo di­mo­stra­to: trian­go­lo, qua­dra­to e du­pli­ce pen­ta­go­no, al­lo stes­so tem­po non si può tra­scu­ra­re l'im­por­tan­za del­le fi­gu­re e­sal­tan­ti la se­zio­ne au­rea de­dot­te dal ret­tan­go­lo au­reo: da un lato il som­mo trian­go­lo au­reo, dal­l'al­tro il pen­ta­go­no con­ca­vo, che la ma­ni­fe­sta­no pri­ma e a mon­te di ogni al­tra re­a­liz­za­zio­ne e re­go­la­men­ta­zio­ne.
Mentre la prima classe ri­guar­da fi­gu­re re­go­la­ri e sta­ti­che, la se­con­da in­tro­du­ce a pro­ces­si vivi e di­na­mi­ci, in quan­to in­te­res­sa­no mag­gior­men­te lo svol­gi­men­to di fe­no­me­ni na­tu­ra­li; rappresenta le tre distinte modalità con cui la sezione aurea prende forma, nelle figure geometriche e simboliche fon­da­men­ta­li dell'esistenza.

Del quadrato, che non la esprime direttamente ma la contiene, deve aver luogo quella specie di ‘parto’ che ne svolge la metamorfosi nel rettangolo aureo, il quadrilatero tale da far da ponte alla costruzione degli altri due.

Nel­la mia meta-vi­sio­ne ad es. è la stel­la pen­ta­go­na­le che ar­ti­co­la pro­ces­si di cre­sci­ta e tra­sfor­ma­zio­ne at­tra­ver­so co­stru­zio­ne e di­stru­zio­ne, lad­do­ve il pen­ta­go­no con­ves­so ne e­spri­me ver­ti­ce dopo ver­ti­ce so­la­men­te il derivato (ma non for­mu­la da solo la se­zio­ne au­rea), e si av­va­le del­le pro­prie­tà in­ter­ne al suo pe­ri­me­tro per re­a­liz­zar­ne la mas­si­ma sin­to­nia, così come il qua­dra­to si rifà alle sue dia­go­na­li per de­fi­ni­re la cro­ce del­le quat­tro di­re­zio­ni cardi­nali ed i pro­ces­si di con­trap­po­si­zio­ne dia­let­ti­ca.
Il pe­ri­me­tro stel­la­re na­ti­vo de­fi­ni­sce 10 trian­go­li au­rei se­con­da­ri + 5 ter­zia­ri, ai qua­li se col­le­ghiamo i suoi ver­ti­ci con il pe­ri­me­tro del po­li­go­no con­ves­so se ne ag­giun­go­no 5 per ogni lato, di cui 3 di tipo ter­zia­rio di due mi­su­re di­ver­se.
La li­sta in sen­so o­ra­rio nella figura soprastante è:
5 × BAC, 5 × ExA | × EzC, 5 × ECx | × AEz, 5 × yxC, 5 × BCD e 5 × CBz
Come quello corto, anche il lato lungo del rettangolo fa da base ad un tri­an­go­lo au­reo, quello terziario, ricavabile dall'intersezione dei due archi aventi per rag­gi i lati corti, in in­cro­cia­ta simmetria al precedente.
Un campionario di ineguagliabile sinergica ricchezza.
Conosci forse un modo per tracciare un pentagono, che ab­bia mag­gior sen­so di questa cri­stal­liz­za­zio­ne della sezione aurea?
In questa più recente acquisizione delle implicazioni del suo triangolo aureo secondario se ne trova un riscontro senza eguali.

Quanto al grande triangolo sono stato e sarò ancora fin troppo esplicito nel dichiararlo contenitore e rivelatore dell'autentico π e misura del cerchio che lo incorpora. Dato un cer­chio che lo cir­co­scri­va con dia­me­tro u­gua­le al­l'U­ni­tà, un suo lato e­qui­va­le ad ¼ del­la cir­con­fe­ren­za ed è Φ, rivelando il π nel­l'i­nef­fa­bi­le e totale armonia delle regole.
Matematica: scienza che usa metodi logici e deduttivi per lo studio delle proprietà
di numeri, figure e configurazioni geometriche, strutture formali e processi evolutivi,
e che con altre discipline scientifiche e tecnologiche serve a definire modelli
dei suddetti enti per risolvere problemi reali d'ampia portata
– https://sapere.virgilio.it/parole/sinonimi-e-contrari/matematica

Posti a confronto in una sintesi più approfondita, se ne evincono meglio le pri­me po­ten­zia­lità.

  1. Il triangolo equilatero per tutti i lati uguali non presenta alcuna base, né o­rien­ta­men­to, né dinamica.
    È un mero simbolo geometrico, di completa sintonia, che acquista gran­de senso nel tetraedro.
  2. Per contro, il grande triangolo primo è la massima espressione, di­ret­ta ed es­sen­zia­le della Divina Proporzione: in quanto presenta una base su cui i due lati costituiscono un accordo, rapportato alla base in piena ed e­sclu­si­va ra­tio φ. Come tale è atto a rappresentare la scis­sio­ne del­l'U­ni­tà pri­mi­ge­nia, nel massimo equilibrio armonico concepibile.
    Non a caso è simbolo universale riconosciuto del divino.
    È il Principio Creatore che genera i due opposti poli com­ple­men­ta­ri, Pa­dre e Ma­dre, propositivo e ricettivo, espansione e contrazione il cui pro­dot­to è uguale ad 1.
    Ha senso verticale; per quanto di poco rilievo, se è di­mez­za­to ver­ti­cal­men­te (dal vertice a metà base), se ne può ricavare subito il rettangolo aureo, da cui tutti gli annessi.
    È proprio nel cercar di dimostrare graficamente la relazione au­rea pri­ma, che scopro un nuovo metodo per integrare nel modo più di­ret­to ed im­me­dia­to il grande triangolo con il suo cerchio circoscritto; dando luo­go al mol­ti­pli­car­si in un'esplosione, di altri quattro triangoli del­lo stes­so ti­po, due di dimensioni decisamente maggiori e due un po' mi­no­ri di quel­lo di ba­se, che risulta a sua volta duplicato dalla sua pro­ie­zio­ne sim­me­tri­ca ver­ticale. La procedura è elementare:
    disegnare il grande triangolo aureo
    nel cerchio circoscritto
    con righello e compasso

    raddoppiato il lato AC in AB – diciamo con un cer­chio di diametro =1 – un ar­co con centro in A e raggio AD interseca AB nel punto Φ se­zio­ne au­rea del­la som­ma dei due lati, e non solo: se pro­lun­ga­to fi­no ad E, dove in­con­tra il sud­det­to cerchio con centro in C, darà luogo alla nuova base DE del triangolo aureo DEB perfettamente inscritto nel cerchio maggiore – una di­mo­stra­zio­ne che ci re­gala il per­cor­so più bre­ve per costruirlo con righello e compasso – il cui 4° cerchio aureo interno è tangente oltre che alla base del triangolo, all'arco ADE precisamente nel punto Φ. mentre il 2° oltre che ovviamente ai lati DBE è tangente al lato del rettangolo aureo di origine.

    Non finisce qua: ripetendo quest'ultima operazione specularmente in ver­ti­ca­le, cioè sul lato DC del triangolo [CLIC], il segmento xy tra le due in­ter­se­zio­ni dei trian­go­li maggiori [verde-azzurro] costituisce insieme a xF ed xE i lati di altri due nuovi triangoli aurei xyE ed xyF con vertice in x, di di­men­sio­ne leg­ger­men­te minore del triangolo iniziale; come ad a­li­men­ta­re la magica armonia deducibile.
    In cosa consista la magia di questa figura è presto detto: essendo il lato DB normale alla base DA, la ratio DA/DB, rappresentativa del ret­tan­go­lo che appare tenendo il mouse sulla figura cliccata, è 1,272022 o meglio la φ.
  3. Il quadrato invece ha senso orizzontale, è lo spazio [del] creato, che di­stribuisce e con­trap­po­ne i quattro Elementi sul piano materiale.
  4. Il pentagono completo è una fi­gu­ra com­ples­sa, ver­ti­ca­le ed o­riz­zon­ta­le quale sin­te­si dei due: 5² = 3² + 4² !
    Ogni suo ver­ti­ce è rag­giun­to de­gli al­tri quat­tro, si­mu­lan­do gra­fi­ca­men­te una pro­spet­ti­va qua­si pi­ra­mi­da­le, pa­ra­dos­sa­le nel pro­spet­to, ma in­vi­tan­te ad una lo­gi­ca da non tra­scu­ra­re, che si ripropone a ruota.
    Di­ri­ge il vor­ti­ce che pro­du­ce mo­vi­men­to e mu­ta­zio­ne, tra­mi­te un dop­pio sen­so di ro­ta­zio­ne, nonché una sorta di spirale de­ri­van­te dal ri­pro­dur­re au­to­no­ma­men­te se stessa, cosa che né il trian­go­lo né il qua­dra­to fanno.
    Se nel pentagono il passaggio da un vertice al successivo, ad es. della base, avviene con un lato AB in senso antiorario, nella stella con­cor­ro­no due lati AC, CB in senso orario, che definiscono il triangolo aureo secondario in­sie­me al lato AB che ne è la base.

    Per passare da un vertice al seguente del pentagramma, il pentagono impiega invece due lati in senso orario (il più breve), generando così il triangolo aureo terziario AEC, la cui base in questo caso è il lato della stella.
    Con esso si identifica dunque il quinto elemento, l'etere, permeante ogni aspetto della vita.
    Possiamo distinguere i due versanti che coesistono nel poligono con gli attributi verticale, centripeto, positivo, e viceversa.
    Si configura così l'Intento, con il prin­ci­pio di re­vi­sio­ne che di­ri­ge a com­pi­men­to ogni co­sa, a­zio­ne o e­ven­to se­con­do quel­le leg­gi di ca­u­sa ed ef­fet­to che con­du­co­no al­l'a­van­za­men­to at­tra­ver­so re­a­liz­za­zio­ni; si at­tua la leg­ge di an­da­ta e ri­tor­no, corso e ricorso, che è con­tro­par­ti­ta e com­pen­sa­zio­ne, chia­ma­ta kar­ma in o­rien­te, e­nun­cia­ta dal­la ter­za leg­ge di New­ton in oc­cidente:
    “ad ogni azione corrisponde una reazione u­gua­le e contraria”, che traslata alla sfera vi­bra­zio­na­le ed energetica dell'umano ter­re­no si­gni­fi­ca ‘raccogli quel che semini’.

    Elettricità e Magnetismo
    A differenza del grande triangolo primo, nei tri­an­go­li ‘se­con­da­rio’ e ‘terziario’ il rapporto au­reo è sdop­pia­to, la ratio aurea sussiste solo tra la ba­se e ciascuno dei due lati separatamente.
    Entrambi in simmetria pentapolare delineano il poligono completo, ma mentre il terziario è o­rien­ta­to mag­gior­men­te alla frangia perimetrale, cioè periferica, come identificandosi soltanto con la figura convessa e senza riguardare l'area del pen­ta­go­no con­ves­so in­ter­no che è estraneo alla sua area, il secondario si concentra sul cam­po in­ter­no della figura, lo delimita e lo contiene con il suo sviluppo.
    Così mentre il terziario rappresenta l'espansione ed il moto centrifugo, il secondario rappresenta la contrazione ed il principio gravitazionale.
    Tracciando per ciascuno di essi i due archi con centro agli estremi delle rispettive basi e raggio il lato del pentagono, i loro raggi alle intersezioni con i lati delineano la pre­­sen­­za di 2 +1 triangoli del tipo opposto e di 2 del proprio tipo; questi ultimi nel 1° caso si sommano alla sovrapposizione (Yon), nel 2° si sot­trag­go­no (Yin).

Che lo si convenga o meno nel tempo a venire, queste figurazioni mostrano una concatenazione intelligente ed essenziale, fondamento di una co­smo­go­nia ge­o­me­trica esoterica, quasi ideografica.
La potenza del 5

Chi volesse addentrarsi in una trattazione scientifica a sostegno di quanto ripercorso in questa relazione, fo­ca­lizzata sul­l'a­spet­to ge­o­me­tri­co del pen­ta­go­no, tro­ve­rà in questa pagina materia di riflessione ed opportuni rinvii alla scoperta dell'ATOMO MA­GNETICO, divulgata fin dal 1954 dal famoso ricercatore Pier Luigi Ighina (già as­si­sten­te di Gu­gliel­mo Mar­co­ni).
Troverà ulteriori descrizioni dettagliate riguardanti le dinamiche di triangolo e quadrato in seno all'analisi astrologica.
Quella pagina reca data recente a causa di aggiornamenti di alcuni indirizzi web da http:// ad https://, ma il suo contenuto risale alla prima produzione di A­stro­Ti­me antecedente al 2010 (quando la spirale aurea era ancora ine­splo­ra­ta). Ripercorrendola per una traduzione utile, mi accorgo che non pochi con­cet­ti espressi e coordinati in quegli anni risultano fortemente integrativi dello sfor­zo at­tuale, proprio dall'orizzonte dialettico dell'astrologia, che offre i più si­gni­fi­c­a­ti­vi spunti di riflessione, per le strette correlazioni che collegano la di­men­sio­ne della materia allo svolgersi degli eventi.

Sebbene gli enunciati di Ighina non abbiano trovato il riscontro sto­ri­co ve­ro­si­mil­men­te più a­de­gua­to, cosa che dall'esempio di altri casi similari non sor­pren­de affatto, la rivelazione centrale dell'atomo magnetico si incastona a meraviglia nelle mie reiterate analisi, di allora e di oggi, in particolare per quanto riguarda quintile e pentagono.
Devo perciò precisare di essere a mia volta arrivato a sapere di Ighina pro­prio per aver ma­tu­ra­to detta corrispondenza. Le specifiche descrizioni de­gli aspetti a­stro­logici sviluppate per gli utilizzatori del servizio AstroTime, pubblicate nel trattato «PER UNA CONGRUENZA DEGLI ASPETTI PLA­NE­TA­RI» – © The Watch Publisher, 1992 – ISBN 978-88-904390-3-2, erano e rimangono indipendenti, ferma restando la validità sinottica sia a­stro­lo­gi­ca che ge­o­me­tri­ca, nonché esoterica di tale prospetto, che di sostegno ne tro­va in ogni lato del regno naturale. Se poi volessimo, non avremmo dif­fi­col­tà a ri­co­no­sce­re nel­le tre figure il significato astratto dei singoli elementi, basterà ci­tar­ne i più salienti ed indicativi per un rapido raffronto.

  1. Il triangolo è Fuoco, e come ogni fiamma ha una base, altezza e punta verso l'alto, in un'unica direzione. Bruciando produce energia; in un mo­do o nell'altro permea qualsiasi organismo, ne determina la com­pat­tez­za e può sublimarlo; non ha dimensione propria né misura alcuna: un fiammifero, o una scintilla bastano a satenare il più vasto incendio.
    È quindi e soprattutto Luce.
    I suoi tre lati possono rappresentare i principi di attra­zione - repul­sione - pro­pul­sione che caratterizzano le dinamiche dell'esistenza, ma solo nella loro potenzialità, essendone l'effetto demandato alle altre due figure.
  2. Il quadrato per contro è Terra, con una dimensione materiale rigida e mi­su­ra­bi­le, come del resto è il tempo che accompagna lo spazio, in quat­tro direzioni fondamentali, fisiche o stagionali.
    Piano o qua­dri­men­sio­na­le (tempo incluso), è lo scenario sul quale tro­va­no po­sto e relativa stabilità cose ed eventi. La sua caratteristica prima è la contrapposizione, insita nel parallelismo; i suoi due vertici opposti ne rag­giun­go­no altri due opposti tra loro.
    È fonte di complementarità, di superamento e continuazione attraverso il confronto, ma anche di attrito e ristagno, poiché la sua natura è fis­sa, sta­ti­ca, non semovente ma solo dispositiva, per l'appunto di attrazione-re­pul­sione.
    Nel linguaggio astrologico la quadratura (90°) è sinonimo di attrito, di urto e disagio, e così pure multipli (135°) e sottomultipli (45°, assai in­si­dio­so). Questi riferimenti potranno non interessare i matematici, ma mi hanno con­sen­ti­to di prevedere per le relazioni angolari orbitali tra pia­ne­ti (* vedi sotto) decine di eventi sismici documentati, disponibili online. Del resto basta osservare le specifiche delle stagioni, opposte e com­ple­men­tari.
  3. Il pentagono presenta allora una duplice espressione: passiva e attiva.
    Da quanto descritto sopra, è facile desumere il manifestarsi di una com­po­nen­te di Acqua (o stato liquido), sempre frammista e convertibile in una di Aria (o stato gassoso) e vi­ce­ver­sa sotto l'azione del Fuoco; com­po­nen­ti in grado di trasformare e trasmutare lo stato della Terra di per sé inerte ed immobile senza questa spinta incessante.
    Dunque la realtà propulsiva dell'atomo magnetico si manifesta non a ca­so in direzioni di cinque atomi riceventi, che la ripresa ci mostra, an­che se probabilmente Ighina non era personalmente edotto del prin­ci­pio in esame.
È interessante osservare come la presenza di un te­tra­e­dro [trian­go­lo in solido] inscritto in un cubo [quadrato in solido], lo suddivida in un totale di 5 tetraedri, a­ven­ti cia­scu­no per base uno delle facce del tetraedro centrale e per vertice uno dei vertici del cubo. Le 3 facce di ogni te­tra­e­dro esterno × 4 volte sono 12, quante sono le fac­ce del dodecaedro [il pentagono in solido].

Insomma, non sarebbe azzardato considerare le tre figure in esame em­ble­ma­ti­che degli at­tri­bu­ti di Cardinali, Fissi e Mutevoli, sotto i cui rag­grup­pa­men­ti si ripete la distribuzione dei 4 elementi nel circuito zodiacale.
A differenza del quadrato, che lo scompone in quattro fasi, il pentagono si av­vi­ci­na maggiormente al cerchio e stabilisce quel fat­to­re di continuità che ne è la rotazione in doppio senso.
Va notato che mentre nel quadrato ogni vertice ne raggiunge due contigui, ma non il vertice opposto (potenziale complementarità, ma sulla base del contrasto), nelle figure dispari ogni vertice raggiunge tutti gli altri, e­sclu­den­do un possibile conflitto. Nel triangolo tale passaggio è sin­go­lo ed im­me­dia­to, nel pen­ta­go­no è multiplo e mediato; in ogni caso esprime un im­pul­so di­na­mi­co sempre presente.
Abbiamo visto all'ingresso in questa pagina come una circonferenza si mol­ti­pli­chi 4 volte per generare il quadrato; ma come può de­ri­var­ne di­ret­ta­men­te il tri­an­go­lo aureo, con le sue speciali proprietà? è semplice, quasi pre­ve­di­bi­le: mentre 4 cerchi u­gua­li ribadiscono la simmetrica e totale pla­nei­­tà del quadrato (che risulta di lato pari al raggio), incontriamo qua tre cerchi concentrici (interni al 1°, quindi 4 in scala) come ad esaltare la verticalità del triangolo, poiché in­tro­du­co­no al pensiero il vortice di una spirale, o anche il loro sviluppo verso l'apice della grande piramide, già citato nella pagina di ingresso; al­li­ne­a­ti in­fat­ti in triplice riduzione aurea giacché la divina ratio è quella da riprodurre in questo caso.
È grazie al rilevamento di questi cerchi che ho potuto scoprire e capire il sommo triangolo, evidenziando e pubblicandone le specifiche nel 2002 in varie direzioni formali. Per mezzo di quel triangolo, e solo di quello, la cir­con­fe­ren­za ci af­fi­da la sua metà con la relativa Φ.
Si potrebbe dedurre da questa ricca esperimentazione che se il quat­tro si vede, il tre ed il cinque sono impalpabili, come l'anima del reale.
Figurando l'assoluto che tutto contiene questa è verità certa: il cerchio si­gni­fi­ca contenimento del tutto, esso è il π ! e così ce ne informa, poiché co­me ho premesso la metà della cir­con­fe­ren­za equivarrà alla metà su­pe­rio­re del grande triangolo d'oro (considero tali i due lati uniti nel loro rap­por­to au­reo con la base), quasi a sot­to­li­ne­are il mo­do di esibire la sua u­ni­tà al mon­do tangibile.
Un regalo prezioso per chi lo sa leggere.
Così ogni quarto è il vero π, centro e periferia, radice in essenza della se­zio­ne au­rea e di tut­to quanto ne con­se­gue. La sua cifra governa l'e­qui­li­brio gra­vi­ta­zio­na­le tra par­ti­cel­le su­ba­to­mi­che.
Come si può non cogliere tanta perfezione e ma­gni­fi­cen­za, una volta inquadrata? Sostituendola con un π artificiale ed i­no­pi­na­bilmente im­per­fet­to, al punto da aver bisogno di tanto clamore (di impossibilità geometrica) per farsi valere?


(*) Oltre ad un rinvio ad un articolo che sebbene datato 2010, è interessante per alcune implicazioni, merita citare che sulla semplice e diretta applicazione di queste tre figure basilari del linguaggio geometrico ai processi di mec­ca­ni­ca celeste, più sem­pli­ce­mente ai rapporti angolari nei movimenti orbitali dei pianeti nel sistema solare, ho sviluppato per circa quattro anni (2011-2014) gior­na­lie­re previsioni sismiche anticipate sul server di seismic.astrotime.org, troppo spesso ve­ri­fi­ca­te­si il giorno seguente nell'arco di minuti o anche solo di se­con­di per poterle ignorare, quindi archiviate con tutti gli altri eventi in a­van­za­te tavole PDF sempre disponibili; tutt'ora scaricate sistematicamente per e­vi­den­te scopo di ri­cer­ca da studiosi di vari paesi, nonostante che la corretta lettura delle pagine tecniche aggiornate sul web in date non modificabili risulti com­pro­mes­sa negli anni dalle mutazioni funzionali dei browsers, a cui chiedevo il mas­si­mo, dato l'enorme volume di dati grafici in vista.
Appuntai in data 31/05/2012 una prima lista di previsioni tra le più precise ovvero azzeccate a meno di un minuto, ma poi non me ne sono più oc­cu­pa­to, essendo il lavoro in tempo reale piuttosto serrato.
Quando pensai che bastasse cessai questo impegno senza tregua, ma non ri­nun­ciai a postare previsioni via Twitter, spesso indirizzate all'INGV, per lo più soggette a riscontri senza dubbio scioccanti nei casi degli episodi più gravi.
Sfortunatamente però, prevedere terremoti è un terreno che scotta, ra­gio­ne­vol­men­te quasi proibito, il che non farà sì che Astrologia (quella seria) e scien­za pos­sa­no an­da­re a braccetto tanto più facilmente com'era nel mio intento.
Ma i dati rimangono, risultanti da equazioni ed algoritmi basati su triangoli, qua­dra­ti e pentagoni. Nel riguardare la home page, con la tavola celeste che fo­to­gra­fa il sistema al momento del più forte dei terremoti, non posso non notare che troneggia una terribile spirale.


Il traguardo finale
Ero giunto a maturare queste ultime riflessioni dopo aver scoperto il potere della spiraloide, capace di ricondurre figure irregolari al per­fet­to tri­an­go­lo pen­ta­go­na­le.
Pertanto ho preferito continuarle su questa pagina, che introduceva i rap­por­ti tra i poligoni di base; ciò può arrecare disagio nella lettura, ma la ma­te­ria si amplifica in tempo reale sulla sua stessa stesura, e non potrei ri­co­stru­i­re tutta la trattazione ad ogni nuovo apporto.
Ora, dopo aver meditato ed approfondito quest'ultimo tema, un'ispirata de­du­zio­ne mi costringe a ritornare all'ultima rampa di lan­cio, la Quintessenza del­la spirale aurea, per sviluppare quella che sarà la più ambita delle con­clu­sio­ni, una vera ultima tessera atta a completare il mosaico di questo mon­­do ignoto, soddisfacendo tutte le aspettative in modo pragmatico, per essere infine applicabile al mondo naturale.
Il lavoro è in corso, chi avrà la pazienza di seguirmi, non ne sarà deluso.
fine inserto 2023

Triangoli, sezione aurea e false spirali

Se questo paragrafo si fosse limitato alle false spirali, a cui mi richiamava ahimè la stella soprastante, potrebbe ancora figurare in questa pagina; ma la legge creativa di cui la spirale aurea ci informa ad ogni livello della re­al­tà, a questo punto mi ha reso doveroso approfondire e documentare, il che ha assunto le dimensioni di vera e propria ricerca, con analisi e ri­spo­ste in­no­va­ti­ve ad ar­go­men­ti tanto affascinanti da dar rilievo – in termini squi­si­ta­men­te ge­o­me­tri­ci – al subominio dedicato
https://golden-spiral.eye-of-revelation.org.
Gli è che la spirale aurea generata dalla Divina Proporzione viene in­ter­pre­ta­ta e presentata da diversi ma­te­ma­ti­ci come una semplice specie di spirale lo­ga­rit­mi­ca; forse per sem­pli­fi­ca­re qualcosa che sfugge di mano.
In realtà è vero il contrario, giacché mentre il logaritmo è un artificio ma­te­ma­ti­co formalizzato nel secolo XVII, che ha dato séguito all'impostazione di spirali geometriche di vario genere, la spirale aurea riposa da sempre su un principio del tutto autonomo, imperniato sull'immutabile ed insostituibile ra­tio del Φ, il fattore che non trova l'eguale in alcun'altra formula di e­span­sio­ne/contrazione, e che come vedremo si realizza in più di una modalità.
È espressione ed è espressa da un principio unico che tutto permea di e­qui­li­brio e di armonia. rivelando una forza alla radice dell'esistenza fisica e del suo evolvere biologico; miracolo di perfezione incessante nel divenire, au­to­-de­fi­ni­ta nel passato e nel futuro in continua accelerazione.
Questo suo rango dunque non è naturalmente assoggettabile né sto­ri­ca­men­te riducibile ad un caso di spirale comune, ancorché con le stesse for­mu­le a quest'ultima preposte possa essere calcolata; se le altre spirali, al con­fron­to, so­no poco più che strutture geometriche ideate, la spirale aurea è struttura geometrica ideale. Vediamone dunque le ragioni.
La matematica, vista nella giusta luce, possiede non solo verità ma suprema bellezza –una bellezza fredda e austera, come quella della scultura, senza ricorrere ad alcun lato della nostra natura più permissiva, senza le vistose finiture di pittura o musica,
eppure sublimemente pura, e capace di una rigorosa perfezione
quale soltanto la più grande arte può esibire.
da Bertrand Russell, “A History of Western Philosophy”
Sarà per merito degli argomenti che sto trattando,
ma personalmente la trovo di una bellezza calorosa e vibrante!

dalla Sezione Aurea al terzo tesoro della ge­o­me­tria

Ove poi qualche critica spietata avesse involontariamente intaccato il tuo buon umore, e ciò nonostante mi hai seguito fin qua, ecco un'altra re­la­zio­ne i­nat­te­sa, che potrà bilanciare qualche compromesso.
Ove mai esistesse un'e­spo­si­zio­ne di ‘gioielleria geometrica’, per così dire, an­che il pros­si­mo dia­gram­ma sa­reb­be degno di una teca privilegiata, non es­sen­do mai stato vi­sto prima, ma so­prat­tut­to per la sua singolare eleganza e per­ti­nen­za sim­bolica.

Se dal punto di vista storico è stata determinante la regola della ‘certezza’, derivante da geometria pratica con riga e compasso, oggi che certi confini, ra­pi­di­tà esecutiva inclusa, sono superate dai linguaggi di pro­gram­ma­zio­ne, si ren­de essenziale addentrarsi nel più intimo, intrinseco costrutto delle fi­gu­re fon­da­men­ta­li, dei loro rapporti ritmici, creativi e dinamici, poiché da ta­li po­ten­zia­li­tà emergono leggi e sinergie naturali, che non essendo fatte di espedienti geometrici, possono renderci edotti di quel che si cela dietro le quinte.

Già dalla ricostruzione corretta dell'Uovo Cosmico (cfr. anche «2×2=3,14» pag. 7), l'impalcatura virtuale di questi cerchi si è rivelata come la chiave di im­pec­ca­bi­li proporzioni.
Ora però si tratta di pura geometria in essenza, ed ecco come ci sfida il lo­ro impiego, dando per scontato il triangolo di fondo, che aiuta a i­den­ti­fi­carli e dai quali è posto in essere.
A compensare l'apparente in­co­mu­ni­ca­bi­li­tà tra i due triangoli aurei, an­co­ra un'an­­te­pri­ma, conseguente ad ap­pli­ca­zioni del­la maestria dei quat­tro cerchi au­rei concentrici con i dia­me­tri in ra­gio­ne Φ, che ac­com­pa­gna­no in­de­le­bil­men­te la struttura del Gran­de Trian­go­lo Aureo, un'autentica miniera di mi­ra­coli.
Pentagono definito solo da
due cerchi aurei: r1=1, r2
La 1a cir­con­fe­ren­za e­ster­na [dia­me­tro 1.000] entra in gioco nella più im­me­dia­ta definizione del pen­ta­go­no, e quindi dei triangoli aurei nativi, se soltanto ripetuta in tan­gen­za ai lati del triangolo, per cui dai due pun­ti di in­ter­se­zio­ne con l'o­ri­gi­na­le cir­co­scri­ven­te, i dia­me­tri passanti dal cen­tro de­fi­niranno al­l'e­stre­mo op­po­sto i ver­ti­ci del pen­ta­go­no. Va trac­cia­ta con il centro sul pun­to inferiore del­la 2a [dmt. Φ] (che è anche il centro della 3a traslata a tangente al pun­to inferiore del­la 1a nonché alla ba­se del grande tri­an­go­lo), ed in­ter­se­ca la 2a in due pun­ti che marcano e­gual­men­te i vertici op­po­sti del pen­ta­go­no ivi vir­tual­men­te in­scrit­to, sim­me­tri­ci ri­spet­to al cen­tro, na­tu­ral­men­te ma non ne­ces­sa­ria­men­te, pro­iet­ta­ti nella fi­gu­ra sul­la cir­con­fe­ren­za esterna.
Da notare che il cerchio primario co­sì ri­por­ta­to risulta pure tangente alla 3a [dmt. Φ¹;], e a sua volta ai lati del gran­de triangolo (avente ver­ti­ce op­po­sto al nuovo cen­tro) che sem­bra voler rafforzare la re­fe­renza.
Non sono pochi i riferimenti d'oro che emergono dalla maestria di questo im­pian­to, e mi soffermo a delinearne solo alcuni.
Questa nota mi riconduce con mia stessa sorpresa all'indagine prospettica de­li­ne­a­ta nel 2003, riportata nella pagina precedente a proposito della pi­ra­mi­de di Giza da cui tutto lo studio è originato. Un'arricchimento last minute, che po­treb­be amplificare il senso di tale intuizione per i livelli di risonanze.

Naturalmente le coordinate d'intersezione delle due circonferenze cor­ri­spon­dono esattamente a quelle angolari per 18°.
La tecnica ripercorre in un certo senso le orme della prima ricerca del qua­dra­to, che ha iniziato questa pagina; ma in questo caso non si sdop­pia­no cerchi u­gua­li, ma si agisce sul dinamico rapporto aureo di due soltanto, di­mez­zan­do­ne la pre­senza necessaria.
Se consideriamo il pentagono l'espressione vibrante caleidoscopica della se­zio­ne au­rea, il qua­dra­to ne è solo lo scrigno non manifesto.

Forse per questo la pro­ce­du­ra ap­pli­ca­ta alla stella non indulge ai quattro lati, da cui appare con­trad­det­ta in ogni direzione per uno scarto del raggio per di­fet­to di circa lo 0.00192%.
La più appetibile delle analisi suggeriva infatti che in un cerchio di diametro 1, una circonferenza con centro in qualunque punto del suo perimetro e di raggio un doppio Φ al quadrato, quattro volte il raggio del 3º cerchio au­reo, lo in­ter­secasse in due punti tali da sottendere una corda cor­ri­spon­den­te al lato di un quadrato inscritto; ed il primo impatto sembrò incoraggiante.
Persino un caso di stimolante ri­le­van­za semantica, che però a­vreb­be condotto all'esito op­po­sto, e che a questo punto del per­cor­so non rinuncio a ritene­re de­gna di catturare ­la cu­rio­si­tà de­gli stu­diosi, come è stato per la mia.
La figura SVG lo esibisce, ma da­ta la poca manegevolezza di que­sto nuovo for­ma­to, che qua uso solo a livello illustrativo ap­pros­si­ma­to; ho provveduto an­che in que­sto caso un PDF di al­tis­si­ma risoluzione e pre­ci­sio­ne, che di­mo­stra l'assoluta ri­spon­den­za del pentagono, con­tro la quasi sor­pren­den­te ir­ri­du­ci­bi­li­tà del qua­dra­to a qual­sia­si tentativo di sua di­scen­den­za dal­l'im­pian­to aureo.
Di fatto il quadrato è portatore in­di­pen­den­te della Divina Pro­por­zio­ne, e non ne ha bi­so­gno per essere tracciato. Sembra librarsi in e­qui­li­bra­ta distanza dalle in­ter­se­zio­ni dei cerchi aurei abbastanza ampi da definirlo dal­l'e­ster­no, o commisurati al­l'in­ter­no, e pure con scarti simmetrici.
Debordano nella stessa direzione e sempre con distanze irrisorie anche l'ap­pli­ca­zio­ne del cerchio Φ2; por­ta­to tangenziale al Φ6, potenzialmente su 4 lati; e quella del cerchio Φ3 tan­gen­te a se stesso o alla base del grande triangolo.

Ho tentato e ricontrollato le varie modalità - dopo essere inciampato in due di­fet­ti del linguaggio PostScript, che alterava le dimensioni del quadrato suc­ces­si­vamente ruotato di 45°, ed il cui comando nativo approssimava il profilo del cerchio (in modo impercettibile), te­nendomi sotto scacco per gior­na­te intere con questo controllo di precisione, fino a che non me ne sono accorto ed ho ap­pli­ca­to funzioni algebriche, più laboriose ma esatte come un software CAD.
Gli scarti rilevati infatti sono quasi invisibili alla vista nor­ma­le, e diventano de­ter­mi­nan­ti solo con una verifica di precisione mi­cro­me­tri­ca; suggerisco il mas­si­mo zoom a partire dall'area cerchiata a trat­teg­gio, incrocio che de­fi­ni­sce il pen­ta­go­no, per prender visione di quali errori possa riservare questa tecnica di indagine; occorre uno zoom superiore al 600% per co­min­cia­re a di­stin­gue­re le due curve, di cui la gialla è quella primitiva e non suf­fi­cen­te­men­te cor­retta.
Al lato opposto i dati esatti di intersezione delle due circonferenze, una di rag­gio 1000.00 e centro in 0,0, l'altra 618.033988749894848.
Il PDF è progettato con la massima attenzione per esibire e dimostrare i mi­ni­mi dettagli, per cui è costruito con linee sottili, a volte sottilissime (0.01pt, Acro­­bat ver.5 può non bastare).
Nel PDF le curve maggiori di colore rosso (verdi nella figura svg) di­mo­stra­no i tentativi di in­ter­cet­ta­re i vertici del qua­dra­to inscritto e la ri­sul­tan­te ap­pros­si­ma­zio­ne, la prima in alto af­fiancata in verde da quella che dovrebbe essere la traccia corretta, ossia dal raggio 763.9320225 allo stes­so + 1.465.
Rosse minori al tratteggio, sempre traslate dal sistema aureo, potrebbero a vista risultare tangenti ai lati del quadrato… ma nes­su­na lo soddisfa, lo im­pe­di­sce un nesso proporzionale costante, che sembra sfidare il miraggio.

Incuriosito, quasi provocato da tale incompatibilità, ho voluto son­da­re un altro caso, ispirato dal­­la stra­te­gia dei 4 cerchi che definiscono il quadrato, proprio per la loro disposizione va­ga­men­te trian­go­la­re, e allo stesso tempo incorniciata in un qua­dra­to cir­co­scrit­to: trac­cian­do il cer­chio in­scrit­to nel me­de­si­mo sor­ge im­me­dia­to di ve­ri­fi­ca­re se le sue in­ter­se­zio­ni con i dia­me­tri dei due cer­chi i­ni­zia­li de­li­mitino la base del gran­de trian­go­lo a sua vol­ta in­scrittovi, cosa che a pri­ma vi­sta non sem­bra ve­nir meno, in con­co­mi­tan­za con il lato superiore del qua­dra­to alla base di un trian­go­lo e­qui­la­te­ro.
E invece niente da fare! di nuovo per una differenza minima.
Poiché lo scarto che intravvedo è troppo esiguo e poco affidabile ricostruisco il grafico passando dal più fragile ambito illustrativo alla programmazione in Post­Script; ma la distanza è confermata con precisione (clicca la figura se vuoi vederlo).

Queste prove e relative considerazioni, in apparenza prive di utilità, se non altro dimostrano ad un pensiero filosofico che il quadrato della materia, pur recando l'impronta aurea, non risulti prendere parte diretta integrandosi a degli schemi derivanti dalla luce (triangolo) o dalla corrente e­let­tro­ma­gne­ti­ca (pentagono) della divina proporzione, ma può solo renderne manifesti gli effetti come zoccolo di partenza.

La procedura qua esposta potrà non essere convenzionale, giacché non mi sof­fer­mo su dimostrazioni usuali che altri potrà svolgere, ma mi avvalgo di stru­men­ti con i quali la ri­cer­ca corre veloce, e merita di essere segnalata, an­che nei suoi limiti.
D'altra parte il PDF diventato un mezzo di comunicazione prezioso e quasi in­so­sti­tu­i­bi­le per la sua potenzialità (che personalmente ho programmato fin dai primi anni '90) e la portabilità e conseguente accessibilità a 360°.

Nella figura compaiono a complemento del tutto due rettangoli na­tu­ral­men­te connaturati allo schema aureo: il verticale tangente al cerchio Φ2, cioè di base uguale al suo diametro ed altezza uguale a quella del grande triangolo; ed o­riz­zon­ta­le, tangente al cerchio Φ, cioè di base uguale al suo diametro, ed al­tez­za misurata dalla sezione aurea dell'altezza e/o del lato del trian­go­lo, quindi distante Φ3 dal vertice.
Per come lo vedo io, uno schema che evoca sempre più un spartito mu­si­ca­le, portante di melodie che si alternano ed intrecciano vor­ti­co­sa­men­te, ma forse non si accontentano di uno spazio euclideo.

Non è azzardato arguire che l'impianto aureo ren­da in­ter­co­mu­ni­can­ti per le loro pro­prie­tà le figure de­li­ne­a­te in tali processi, non solo in­scrit­te nel cer­chio pri­mo, ma anche correlate alle sue pro­por­zio­ni con­cen­tri­che; af­fa­sci­nan­ti mo­du­la­zio­ni tanto po­co casuali da non poterle igno­rare.
Dovrebbe essere chiaro che in questo caso non attendo ad un compito di ge­o­me­tria manuale, ben­sì ad evidenziare ed approfondire una pro­nun­cia­ta si­ner­gia aurea tra i po­li­go­ni fon­da­men­ta­li (il cui tracciato con riga e com­pas­so è co­mun­que pra­ti­ca­bi­le).
Quel­la di una ge­o­me­tria viva, che parla per ar­che­ti­pi e­le­men­ta­ri e sve­la le sue misteriose con­nes­sio­ni alle radici del di­ve­nire.
Senza contare che è la sola fonte da cui possiamo attingere il vero π.

Tuttavia tornando al quadrato, si può desumere la sua totale non di­pen­den­za (o discendenza) dalla se­zio­ne aurea, che svariati tentativi hanno rivelato ri­get­ta­re, respin­gendola come fos­se una calamita di egual polarità, anche se ogni vol­ta per ap­pros­si­ma­zio­ni mi­ni­me, quasi invisibili in un comune trac­ciato.
Gli è che rispetto al cerchio, il quadrato è una figura basata sull'incrocio per­pen­di­co­la­re di due diametri, o di lati in sim­me­tria parallela o ad angolo retto, tutti aspetti che non hanno alcun bisogno del rapporto aureo, che anzi so­no in grado di rap­pre­sentare con due sole linee, che ne e­spri­mo­no la totale padronanza in­trin­se­ca: un mezzo lato (=1) e la se­mi­dia­go­na­le (5).
Quattro è numero pari per eccellenza, e tutto nel quadrato rientra in una sta­ti­ca pa­ri­tà ed au­to­no­mia, contraddistinta dal­le sfac­cet­ta­tu­re poliedriche del­la stel­la pen­ta­go­na­le, e forse proprio questa in­si­sten­te apparenza denota una re­al­tà tra­scen­dente.

Tutto quanto affrontato, non senza un ingenuo disappunto iniziale, sembra voler accreditare il principio secondo il quale il qua­dra­to non può derivare dal­la sezione aurea, che a sua volta non può essere co­stru­i­ta senza ri­cor­re­re al quadrato; anche se si usa ridurlo al triangolo CDE, che in realtà non ne è che un quarto, ma che comunque non partecipa a que­sto genere di clas­si­fi­ca, non trattandosi che di una figura artificiale arbitraria.
Per contro ovviamente, nessuna figurazione che esponga la sezione aurea, o sia costruita su quella base, può esserne considerata una matrice, o un ba­sa­men­to da cui dedurla.

Grazie per la partecipazione.


[torna alla pagina principale]