Tracciare un quadrato di lato AB
con [un] cerchi[o] a raggio invariabile?
Solo un cerchio di raggio AB lo può generare!


Square From Circle Al tracciato per il triangolo e­qui­la­te­ro si ag­giun­ge la bisettrice che u­ni­sce i pun­ti C ed Y di intersezione dei due cerchi, ed un cerchio con il cen­tro in C - passante per A e B - che in­ter­se­chi in X la CY.
Il tratto CX è evidentemente uguale ad AB, ma fruibile solo come rag­gio per un nuovo cerchio con cen­tro in X, che incontrerà le due cir­con­fe­ren­ze iniziali in D ed E, validi a di­mo­stra­re tout court il com­ple­ta­men­to del qua­dra­to ABDE pro­fi­la­to dal [raggio del] 1º cerchio, delineando al suo in­ter­no il quarto di cer­chio esatto, premessa alla finale acquisizione del π geometrico enunciato da questo studio.
Un aspetto in­te­res­san­te che ne deriva è che questo schema offra la pos­si­bi­li­tà, par­ten­do da un triangolo equilatero ACB, di tracciare il qua­dra­to a­ven­te uguali lati.
Non mi adoprerò per una superflua dimostrazione algebrica, essendo il mio intento evidenziare come il cerchio si avvalga di un'interessante sim­me­tria orizzontale e verticale insieme, la prima basata sui due centri, l'altra de­ci­si­va sulle circonferenze, per una sorta di partenogenesi del 3º da XC, come dire un segno di croce, sin­cro­niz­zan­do per quattro volte l'impiego di ‘sé stesso’, ov­ve­ro­sia con un'u­nica mi­su­ra­zio­ne di base, per dare luogo a quel­lo che, se­con­do un π che scopriremo alla fine del trattato, cor­ri­spon­derà ad un quarto del cerchio pur valendo per l'intero.

Come nel suo aspetto immanente l'unità circolare manifesta la sua ci­cli­ci­tà in quat­tro fasi ben distinte, in un periplo or­bi­ta­le come pure in un'onda si­nu­so­i­da­le, così ritengo di dover concettualizzare, o essere in­dot­to a pen­sa­re al­le quat­tro entità in gio­co come se condensassero la loro es­sen­za com­bi­na­ta e riflessa in ciascuno dei lati del quadrato, tra­du­cen­do­la in una unità fi­ni­ta, suf­fi­cen­te ad in­di­vi­dua­re e distillare tutta la chiave me­ta­fi­si­ca π, l'arte di co­niu­ga­re nel di­ve­ni­re i ritmi del tempo a quel­li dello spazio.
È innegabile in tale diagramma il rapporto molto stretto tra cerchio e qua­dra­to: una circonferenza basata sul suo stesso lato, si moltiplica per quattro in un mo­vi­men­to cruciforme, per produrre un quarto di quel quadrato che ge­o­me­tri­camente la riveste e con la quale si identificherà grazie al π de­sun­to a con­clu­sio­ne della nostra ricerca; quasi che la sua valenza venisse ri­pro­po­sta da ciascuno dei quattro orientamenti.
Come già esposto a pag.14 del trattato «2×2=3,14»

Se il triangolo è tre [spirito], il quadrato è quattro [materia] e il pentagono è cinque [trasformazione], dovremo pensare il cerchio come Uno [Sorgente dell'essere]
con il centro zero, ed in tal modo attribuire il due alle estremità del semplice segmento [dualità, transito, polarità, raffronto, connessione].
Ogni punto, come gli estremi del segmento, è il centro di un cerchio potenziale, che rappresenta tutto ciò che gli sta intorno; ma se virtualmente il numero di cerchi è infinito, uno solo è quello che definisce anche il segmento, ed è il cerchio che attraversa l'altro estremo, facendone il suo raggio. Pertanto, lo ‘sdoppiamento’ dell'Unità in due cerchi non può che assumere una valenza attuativa della realtà lineare tangibile.
Anche se non ne abbraccia tutta l'ampiezza, come pure in ogni figura a­ven­te un numero di lati maggiore di 4, se mi è concesso poter considerare il raggio del cerchio - l'unica misura che lo definisce, che lo traccia e che lo calcola - come il suo ‘lato’, as­si­mi­landolo a quello di ogni altra figura po­li­go­na­le, si ma­ni­fe­sta senza com­pro­mes­si quel rapporto dinamico dall'uno al quattro.

È in questo senso che si evince la necessità essenziale di quattro cir­con­fe­ren­ze di pari raggio per delimitare il quadrato e per contro, giacché la fi­gu­ra ri­sul­tan­te è ¼ di ogni cerchio, ne occorreranno quattro per com­ple­ta­re il cer­chio intero.
Sarà solo un gioco di parole? può darsi; ma si applica unicamente a questa so­lu­zio­ne che rende anche la più ambìta.
Mi ha fatto riflettere per giornate intere, essendo il più efficente e compatto tra tutti gli schemi per profilare un quadrato, e a quanto mi risulta non è mai sta­to raggiunto prima d'ora in questo modo, a differenza del triangolo e del pen­ta­gono.

area: π r2perimetro: 2 π r
Lo conforta il profilo algebrico per il quale, facendo riferimento ad ¼ di π, si scan­di­sce l'area con (r×r) × π /4 e l'arco di circonferenza con (r+r) × π /4.
Fin dalla conclusione del primo lavoro sull'argomento («2×2=3,14», con­fi­den­zial­men­te: “due per due uguale a tre e uno quattro”), mi convinco sem­­pre più che per capirlo veramente, il π vada ricondotto al quarto di cerchio.
Mi sforzavo nella mente di rendere palese una siffatta intuizione, fintanto che la geometria stessa mi è giunta in aiuto:

Si può osservare come il sistema di cerchi che conglobano il quadrato risulti a loro volta natura­l­mente inscritto in un quadrato che li delimita su tutti i lati. Infatti le sue dimensioni dipendono dalla doppia e uguale for­ma­zione di due cerchi, sia orizzontale che verticale, arrangiata in modo che esso corrisponda alla proiezione del quadrato virtuale costruito e centrato sulla croce CX-AB, attraversandone le diagonali e i vertici; una so­lu­zio­ne sor­pren­den­te per la sua unicità e che, rispettando le premesse con­te­stua­li, appare ir­rag­giun­gi­bi­le senza pas­sa­re per il quadrato ABDE; quasi de­sti­na­ta a rimanere un mistero.
Ancora un dato degno di nota è che il lato del quadrato circoscritto ha lun­ghez­za pari a tre volte AB, come si verifica dalla tangenzialità ai due cer­chi cen­tra­ti sui suoi estremi. Lo stesso accade per i due da C ed X.
Con i quattro cerchi così disposti avevamo quindi definito virtualmente an­che il quadrato che li avvolge, che si può reinterpretare come la dominante la­ten­­te dell'insieme.

Quattro cerchi uguali e sim­me­tri­ci (compasso) - tre centrati ai ver­ti­ci di un tri­an­golo e­qui­la­te­ro di identico lato;
due segmenti risultanti a croce (righello) - quello orizzontale è di a­per­tu­ra, il ver­ti­ca­le è risolutivo.
Sembra un man­da­la sul quale meditare!

Sample square From Circle È, comunque lo si interpreti, il più af­fa­sci­nan­te paradigma di come il cer­chio possa ge­ne­ra­re il quadrato di una dimensione vo­lu­ta, o che abbia un lato nel suo raggio, as­sai più che passando per riga e com­pas­so, data la sua intrinseca proprietà virtuale.
Per disegnare semplicemente un quadrato avrei potuto utilizzare il me­to­do a lato, da AB a C ed Y, per poi da D e B incrociare il ver­ti­ce E; o un altro oc­ca­sio­na­le e pla­u­si­bi­le, ma che cosa ci avrebbero insegnato? Inseguire vertici e lati di una fi­gu­ra non sem­pre corrisponde ad esplorare la Mente creativa, per va­lo­riz­za­re la dif­fe­ren­za tra Intelligenza madre e per­cor­so ge­o­me­tri­co speculativo.
Mentre il primo è un'integrazione viva di cerchio e quadrato, il secondo è so­lo un trac­cia­men­to di un quadrato mediante più usi del compasso.

Un risvolto esoterico da non trascurare …

la Vesica-Piscis aleggia in p.za S. Pietro
del Vaticano, ancorché in modo inesatto, essendo meno probabile una distorsione prospettica dal satellite.
è il fatto che tale soluzione tragga le fondamenta dalla universalmente ce­le­bra­ta figura chiamata Vesica Pi­scis, nota anche come "mandorla mi­sti­ca", sim­bo­lo della Dea Madre o l'Eterno Femminino, tramandata al­la base di di­ver­se etnie, dall'antica Me­so­po­ta­mia all'Africa e dall'India alle civiltà a­sia­ti­che, infine a varie culture Eu­ro­pee, per le sue im­pli­ca­zio­ni plastiche e mi­ste­rio­so­fi­che ma anche ma­te­ma­ti­che. Infatti la scis­sio­ne che dal cerchio Uno genera la du­pli­ci­tà creativa, in quanto regolata dal triangolo ai centri ed ai punti di intersezione, nonché, al suo centro o­riz­zon­ta­le, dalla stes­sa 3 - ossia CY, su AB = 1 - e con essa la po­la­ri­tà di positivo e ne­ga­ti­vo, Yin e Yôn, (o Ying Yang) è con­si­de­ra­ta come la sor­gen­te, padre/madre, di tutte le forme immanenti, e già questi brevi passi paiono con­fermarlo; è sostanziale ri­le­va­re da questo in­trec­cio e per coerenza se­man­ti­ca, come essa sia ge­ne­ra­ta dal triangolo, per poi dare vita o sostanza al qua­drato.
Senza contare che tramite op­por­tu­ni reticoli ricavati dai suoi punti di in­ter­se­zio­ne essenziali, e sempre secondo le regole iniziali consentirà di mi­su­ra­re geometricamente le radici quadrate dei numeri da 2 a 10!
In pratica, la relazione tra i primi due cerchi si riproduce in altri due, dando luogo ad una seconda Vesica Piscis intorno a CAB, imperniata a 90° su un lo­ro punto di in­con­tro, C nella figura sottostante, che consente di trac­cia­re il tri­an­go­lo equilatero in­scrit­to, senza dover prolungare AB fino a T.

Rimane da ram­men­ta­re quel­la che è ve­ro­si­mil­men­te la più si­gni­fi­ca­tiva e­vo­lu­zio­ne della fi­gu­ra base di due cerchi che, con l'ag­giun­ta o­riz­zon­ta­le di un ter­zo cer­chio con centro sulla cir­con­fe­ren­za del 2° e sim­me­tri­co al 1°, portato in ro­ta­zio­ne ri­pe­tu­ta di 60°, svi­lup­pa in qualsiasi di­re­zio­ne il co­sid­det­to ‘Fiore della Vita’

Dalla vescica metafisica al pesce
Con il prolungamento la­te­ra­le dei due archi minori fino ad incontrare i due ver­ti­ci in­fe­rio­ri del nostro quadrato - dan­do luogo a quegli archi di cerchio che ri­marcano il π - si va a dotare la vescica na­ta­to­ria della co­da che com­ple­ta il pro­fi­lo di quel ‘pe­sce’, as­sun­to fin dagli albori come sim­bo­lo del­la cri­stia­ni­tà e chia­ma­to “Ichthys”, os­sia “pesce” nel greco an­ti­co, di­ve­nu­to l'a­cro­ni­mo che dis­si­mu­la­va:
"Iesus Christos Theios Yios Soter", cioè "Gesù Cristo di Dio Figlio Sal­va­tore".
Un attributo che peraltro, in quanto alla precessione degli equinozi, ec­heg­gia i trascorsi 2000 anni per la corrispondente era zodiacale dei Pesci. Basta esaminarne la figurazione, sia nella sua forma ideografica:che de­­scrit­ti­va:, per rendersi conto della coerenza simbolica, rappresentativa di quanto stia­mo studiando.
Da notare che a differenza dal font qua riprodotto, nell'iconografia classica i due pesci risultano collegati da un'unica lenza, o comunque da una sorta di cintura, concetto rispettato dai simboli pur con un semplice trait d'union, ma quasi del tutto ignorato da quegli illustratori che probabilmente non se ne fa­reb­be­ro una ragione. Un'apparente nonsenso, che invece la spiegazione ce l'ha! Eccone una minuscola rassegna catturata dal Web, comunque rara:

È dunque quel quadrato nella sua posizione a portare in atto per l'era cri­stia­na la grande potenzialità del simbolo.
Rileva altresì dallo stesso diagramma la risultanza fin troppo inosservata del triangolo equilatero CYT, originato dalla Vesica Piscis, il cui lato in­scrit­to nel cerchio di raggio 1 è la ra­di­ce qua­dra­ta di 3.
Come dire che il lato di tale triangolo equivale al lato di un quadrato con area 3, un modo che evidenzia come la scienza dei numeri evochi da presso la ge­o­me­tria e le implicazioni me­ta­fi­si­che del quadrato.
In generale, il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza ha sem­pre valore 3×r e la sua altezza è ¼;(2×r) o 1,5×r.
L'impianto qua rivelato ne garantisce in modo e­sclu­si­vo la fattibilità di­ret­ta ed im­me­dia­ta, pro­get­to assai più laborioso da realizzare diversamente, an­che sen­za seguire la nor­ma qua proposta, cosa che sembra giustifichi il pro­li­fe­ra­re di disegni a mano libera.
Si potrebbe anzi notare a questo punto che ciascuno degli archi misura 150°, non lontano dal tanto argomentato numero 153, che persino sui Van­ge­li [Gio­van­ni ¶21:11] viene citato come numero di pesci nella rete, per un miracolo voluto da Gesù. Pur non essendo mio intento ricamare sulle no­te­vo­li virtù ma­te­ma­ti­che del 153, non posso non soffermarmi a suggerire ai ricercatori che una misura speculare di 150 (la cui somma numerologica è 3, da 1+5+1+5 ), dunque intessuta ed unificata da un triplo 3, detta somma = 3, la radice qua­dra­ta di 3 ed il triangolo portante, possa ritenersi integrata nel caso speciale dalla cifra 153.
La portante triangolare che do­mi­na lo schema mi ha in­dot­to ad approfondire ul­te­rior­men­te il costrutto, ed ec­co emergere una so­lu­zio­ne an­­cor più stringente fatta di, e dedicata a soli tre cerchi, ca­pa­ci di dar luogo e con­te­ne­re in duplice assetto lo stes­so im­man­ca­bi­le qua­dra­to.
Lo suggeriva infatti la base del triangolo equilatero maggiore, che in­ter­se­ca nel punto X il terzo cerchio centrato sull'incontro di CY con AB (centro di tutta la figura); ma in realtà solo come esito di una analisi grafica com­po­si­ti­va che, pur non essendo praticabile con righello e compasso, essendo i­de­al­men­te educativa sotto il profilo simbolico merita di essere osservata. .
Come il diametro del 3° cerchio, pas­san­te per CY interseca in Y il 1° cer­chio [con centro in] A, così il dia­me­tro di que­sto, passante per AX per pa­ral­le­li­smo di­mo­stra­to dalla sim­me­tria dei due cerchi, incontra in X il cerchio cen­tra­le ove XY è ¼;AB, per estendersi ad E che si unisce a D alla base del cer­chio B.
Ne deriva che il cerchio B sviluppa la triangolare simmetria che ci regala la per­pen­di­co­la­re ad AB quale diametro verticale del cer­chio A, quindi i lati del doppio quadrato sottostante e soprastante, nonché i sim­metrici sul cer­chio opposto.

A dirla tutta, non saprei dire quale delle due perle sia la più preziosa, per di­mostrare la simbiosi quadrato~cerchio che mi sono prefissato.
Oserei affermare che se la prima il­lu­stra­va una sorta di gestazione del qua­dra­to, im­per­nia­ta sul quaternario, que­st'ul­ti­ma ne rap­pre­sen­ta il doppio con­ce­pi­men­to per ri­fles­so del ternario; ed è proprio per questo che ho inteso illustrarla.
Entrambe svelano in modo profondo il pro­ce­di­men­to atto a certificare la sacralità ge­o­me­tri­ca ed e­so­te­ri­ca della Vesica Piscis - emblema del pro­ces­so cre­ativo - e del­l'Ich­thys, al di là dei gad­gets più o meno improvvisati alla moda.

A questo punto però si impone la ri­go­ro­sa distinzione: mentre la prima so­lu­zio­ne - processata in figura a lato - pre­sen­ta tutti gli e­stre­mi per il trac­cia­men­to teorico, della seconda non è fat­ti­bi­le tracciare il 3° cerchio, man­can­do ogni riferimento al punto a cui e­sten­de­re il compasso, una volta col­lo­ca­to sul nuo­vo centro.
Anche se si è stabilita dall'inizio la re­go­la di un'apertura fissa, utilizzarla ad hoc po­treb­be contraddire il canoni della nor­ma­le prassi; tuttavia non e­sclu­de­rei che questo contribuisca ad esaltare il carattere trascendentale della formazione.

32 + 42 = 52
Pentagono da 5 Cerchi Pur non tralasciando il fatto che il quadrato è lo scrigno nativo del­la Se­zio­ne Aurea, per e­vi­den­zia­re la quale avevo già trac­cia­to il Pen­ta­go­no concavo e con­ves­so com­bi­nan­do Φ e φ, non poteva man­ca­re quella so­lu­zio­ne del Pen­ta­go­no che in­te­gras­se con al­tret­tan­ta e­le­gan­za i pre­sup­po­sti te­sté af­fer­mati.
È ap­pron­ta­ta, grazie al 3º cer­­chio con centro in Y, dalle cui in­ter­se­zio­ni E e D in­cro­cian­do la x si giun­ge ai cen­tri­-ver­ti­ci F e G e da que­sti al vertice del pentagono naturalmente con cinque cerchi. Pentagono a stella con 3 Cerchi
Ma non è tutto. Anche se quat­tro sa­reb­be­ro sufficenti pro­lun­gan­do la YC fino ad in­ter­se­ca­re un quar­to cer­chio nel punto w, non mi fer­mo qua, potendo ot­te­ne­re una stella che quasi si co­stru­i­sce da sola, e che da con­ca­va de­fi­ni­sce il verso con­ves­so, ancora una volta con tre soli cer­chi.
L'intersezione D del 3º cer­­chio at­tra­ver­san­do il punto x rag­giun­ge il 1º cer­­chio in E, da cui il trat­to EB - che è già un lato del­la stella - interseca il 2º cer­­chio (centro in B) nel punto e, che a sua volta consente di pro­lun­ga­re Ae fino all'apicale pun­to w e di unire altri due lati a G, lascio sce­glie­re come…

È il caso di precisare che, nel simbolismo astrologico, le due forme del pen­ta­go­no sono sinonimi di trasformazione, mediazione, evoluzione: la figura con­ves­sa è innovativa e creativa, la concava è distruttiva o sostitutiva.
Un'im­por­tan­te nozione che sfugge tutt'ora alla maggior parte degli astrologi, pur es­sen­do stata pubblicata e resa nota da The Watch Publisher fin dalla sua prima Agenda Astrologica Personalizzata (1992), poi divulgata da AstroTime (2012) accompagnando più di una previsione storica basata su tali relazioni orbitali. Riassunto un esempio in una mail dell'epoca, tutto l'articolo originale (con aggiornamenti progressivi) è leggibile presso il server con date cer­ti­ficate.

A conclusione di quanto abbiamo visto, la pro­ce­du­ra di rigore proposta al­l'i­ni­zio, pur avendo trovato da sempre l'implicita soluzione per il triangolo, ed in più di un modo applicazioni note per il pentagono, non aveva mai in­con­tra­to risposte per il quadrato, rimasto oggetto di costrutti facili quanto su­per­fi­cia­li, nonostante le sue implicazioni più emblematiche ed universali car­di­ni della realtà ad ogni livello di studio e conoscenza.

Triangoli, sezione aurea e false spirali

Nondimeno, menzionando il triangolo ed essendo giunto a quello tra­di­zio­nal­men­te considerato il triangolo aureo, non posso non ritornare su quel grande triangolo aureo che tanta emozione mi ha elargito fin dalla sua pri­ma sco­per­ta, quasi rivelandosi tramite fra la 4a e la 3a dimensione, ov­ve­ro­sia tra sfera e poliedri, per non dire cubo, con un nuovo quesito.
Il pentagono stellato ci regala un triangolo isoscele (in fig. ABW) spesso ad­di­ta­to come ‘sublime’, in quanto espressione aurea della base AB che cor­ri­spon­de al Φ di ciascun lato. Ma anche se ci si compiace di adornarlo di una fal­sa spi­ra­le aurea come se questa rappresentasse l'assoluto, sorta pro­ba­bil­mente dal­l'e­stro di qualcuno che pensò bene di ricalcare quella attribuita al rettangolo - anch'essa una spirale fittizia, poiché non è sorretta da alcuna continuità in espansione, ma è solo un collage di quarti di cerchio; un errore che perdono a me stesso per esserci ‘cascato’ a mia volta tanti anni fa, ma solo perché sto cercando di rimediare, infatti non ci ho mai creduto… - una tale 'spirale' ba­sa­ta su una sequenzialità triangolare a mio avviso non do­vreb­be neppure sus­si­ste­re, dal momento che non soltanto non si u­ni­for­ma al cerchio, la cui pe­rio­di­ci­tà è e­vi­den­te­mente quadrata, come lo sono i cicli di ogni sinusoide, ma i punti di giunzione appaiono più di sutura, datosi che i pro­lun­ga­men­ti virtuali degli archi denotano la totale macanza di o­mo­ge­ne­i­tà tangenziale, giustificabile solo tra quarti di cerchio, sostituita anzi da una con­ver­gen­za verso il loro centro, conseguente ad incroci combinati di archi mag­gio­ri di 90°, e si può cogliere pure ad occhio nudo!
Una semplice illusione ottica, che chi ha sguar­do acuto può notare persino nei tan­ti disegni pub­bli­ca­ti, e che tutti però si dan­no a copiare e vantare cie­ca­men­te, pro­fes­so­ri, stu­den­ti ed en­ci­clo­pe­die po­po­la­ri.
Dovrebbe essere superfluo ag­giun­ge­re che le due spirali auree, pur ap­pli­can­do i­den­ti­ci criteri, non potranno mai co­in­ci­dere; e quindi?
Ad ogni buon conto, per non lasciar nulla di opinabile, l'ho riprodotto in PDF di al­tis­si­ma risoluzione, facilmente ri­di­men­sio­na­bi­le sia a video che per la stam­pan­te o plotter pro, dove la pur leggera fles­sio­ne concava nei punti di giun­zio­ne non può sfuggire ad uno zoom attento.
Leggera sì, ma sufficente ad e­sclu­de­re che la curva possa definirsi spirale, prima ancora del con­te­sta­rne il trac­cia­to a base di archi con raggio co­stante…
Un abuso che sconfina ancora più nella cosiddetta spirale di Fibonacci, vera e pro­pria leggenda metropolitana, dacché non si comprende su cosa si possa ba­sa­re la curvatura e la continuità circolare di ipotetici punti, definiti u­ni­ca­men­te da numeri interi con netta soluzione di continuità tra l'uno e l'altro, ed as­so­lu­ta­men­te privi di valori intermedi.
In altre parole, nulla autorizza il tracciamento di una curva tra il numero 1, il 2, il 3 ed il 5… che non rappresentano altro che unità volutamente prefissate.
Nel più rispettoso dei casi, tale sequenza, lineare e non una spirale, tan­to­me­no trascendente, dovrebbe essere rappresentata u­ni­ca­men­te da segmenti retti, che nessun π debba o possa sorreggere; ciò con­sen­ti­reb­be senza dubbi una visione più realistica (e meno fantasiosa) del­l'an­da­men­to del fenomeno rap­pre­sen­ta­to, e del suo molto lontano rapporto con l'autentica Sezione Aurea.

È ora di far chiarezza definitiva sul tema, abusato in tutte le salse
In primis, nessun normale com­pas­so può disegnare una spirale; mentre può tracciare un cerchio meglio di qualsiasi computer, che è condizionato dalla tra­ma dei pixels o dal re­ti­co­lo della risoluzione.
L'espansione circolare - che al­tro non è, se costruita con quarti di cer­chio come fossero ricavati da sca­to­le cinesi - comporta e­le­va­re il raggio Φ al quadrato ogni 90°! chi lo avrebbe mai deciso? e do­ve sta­reb­be il cri­te­rio aureo? oltre a spostare il suo centro da ogni quadrante a quello successivo, con un risultato visibilmente sbilenco se solo si sottrae alla vista l'impalcatura; e ciò nonostante ci si vanta di passarla come spirale.
La foto riproduce la porta di una conchiglia, raccolta alle isole Sey­chel­les nel 1986, riprodotta nella sua di­men­sio­ne naturale nel mio trattato su gli Aspetti A­stro­logici del '95. Nonostante mezzi tecnici limitati e senza troppe pretese, l'immagine rivela nitidamente lo svi­lup­po di una spirale in netta espansione, ma è lo­ga­rit­mi­ca, e­gre­gia­men­te so­vrap­po­ni­bi­le a quella del ben noto Nautilus.
La spirale aurea si espande con già maggior forza per le strutture vitali, ma non in quel modo esasperato che è contenibile alla vista, e forse anche in natura, solo alle prime volute.
Eppure oggi il Web abbonda di mi­sti­fi­ca­zio­ni come queste a lato (e mi fermo a due), giac­ché non è compito dei motori di ricerca di­scer­ne­re il vero dal falso; ep­pu­re parlano da sole, e non può non ren­der­se­ne conto per primo chi le pub­bli­ca, dato che nella maggior parte dei casi non pos­so­no corrispondere… una miriade di ar­ti­fi­ci sprecati a far apparire quello che non è.

Definire una spirale aurea appare fin trop­po facile, se si interpreta con su­per­fi­cia­li­tà uno schema geometrico, ma ad un tempo troppo difficile se si cerca dav­ve­ro di applicare il risultato alle formazioni naturali e biologiche, senza con­si­de­ra­re fattori di crescita e di adattamento organico e funzionale. Inoltre sono svariati i modi di tracciare spirali, servendosi di parametri ed algoritmi riferiti a Φ, ma disegni approssimati e non motivati non significano gran che.

La figura fornisce un esempio del­l'in­cre­men­to aureo applicato a ciascuna ro­ta­zio­ne completa a 360° che equivale ad espandere la circonferenza dal raggio di un cerchio concentrico a quello suc­ces­si­vo (o precedente) che stan­no in proporzione au­rea (cfr. an­che le pagg. 10~11 e 26 del trat­tato).


[continua presto con dati risolutivi…].

La circonferenza~voluta infatti in questa modalità comporta un in­cre­men­to totale φ ad ogni giro, in accordo agli stessi diametri dei cerchi aurei concentrici.
Una formazione di spirale, come la successiva a passo doppio, forse a­ge­vol­men­te riconoscibile in certi processi fisico-chimici o biologici, ma ve­ro­si­mil­men­te non sostitutiva dell'attesa spirale aurea.
Iniziando il tracciato dal grado zero di un cerchio di raggio Φ ed in­cre­men­tandolo ad 1° per volta, ho tracciato 360 archi di 1° per ciascun raggio ri­cal­co­la­to, e ne ho sommate le lunghezze in mo­do semplicistico a riprova del rap­por­to lineare globale, senza entrare nel merito di equazioni assai com­ples­se, che non a­iu­te­reb­be­ro quest'ambito e mo­da­lità di approfondimento.
Ricalcolate infine le volute di 360° per unità d'arco di 0.05°, par­ten­do da un raggio 1 ho ot­te­nu­to lunghezza globale del primo ciclo di 8.23298 che × Φ² è = 3,1447… (π = 3.1446), oppure 3,1417… (π = 3.1415).
La seconda è ottenuta e­gual­men­te con un incremento lineare del rag­gio, moltiplicato ad ogni pas­so per un incremento fisso di Φ/360 relativo all'angolo, in que­sto caso elevato a 2 per rad­dop­piarlo, ed è confrontato all'andatura della spirale precedente.

L'ultima che propongo invece è una spirale aurea di più ampio respiro, essendo basata su un incremento costante del raggio che, dato un passo di 360°, moltiplica se stesso per φ/passo.


Rispetto al vero triangolo aureo, che insisto nel definire il terzo tesoro della ge­o­me­tria, i triangoli stellari non assolvono la funzione aurea che per metà (men­tre la combinazione di stella intera e pentagono la riflette mi­ra­bil­men­te, ripetendo cinque volte cin­que tipologie di triangoli semi-aurei: ABW. ABE, AGC, ABx, Axe), laddove il nostro la esprime dop­pia­men­te, nel modo più integrale concepibile: la sua base infatti è il Φ della som­ma dei due lati che le crescono sopra sim­me­tri­camente, per cui si può dire che esso im­personi la sezione aurea nel modo più to­ta­le, sintetico ed es­sen­zia­le; ne de­ri­va pure che la sua altezza pro­iet­ta­ta su metà della base da luogo ad un trian­go­lo rettangolo la cui base è il Φ dell'ipotenusa. Un magnifico portale tra dimensioni, così come lo è la grande piramide di Giza.
Tuttavia il lato sconcertante è che esso non possa essere costruito o ri­ca­va­to al­ter­na­ti­va­men­te dal pentagono, concavo o convesso, come se fos­se­ro in­com­pa­ti­bili anziché condividere tale privilegio; né risulta trac­ciabile con riga e com­pas­so da qualsiasi altra figura se non applicando la pro­por­zio­ne aurea.
Dei quattro cerchi aurei che gli sono consoni, solo quello esterno ed il 2º in­ter­no si connettono al pentagramma, giacché en­tram­bi circoscrivono una figura ai suoi vertici, sia la concava che la convessa al suo interno, che per­tan­to stanno in rapporto 1:Φ¹;; ma non aiutano a trac­ciar­le.

dalla Sezione Aurea al terzo tesoro della ge­o­me­tria

Se finora tutte queste critiche spietate possono aver involontariamente com­pro­mes­so il tuo buon umore, e ciò nonostante mi hai seguito fin qua, ecco una relazione inattesa, che potrà bilanciare qualche perdita.
Se mai esistesse un'e­spo­si­zio­ne di ‘gioielleria geometrica’, per così dire, il pros­si­mo dia­gram­ma sa­reb­be degno di una teca privilegiata, non essendo mai stato vi­sto prima, ma so­prat­tut­to per la sua singolare eleganza e pertinenza sim­bolica.
Già dalla ricostruzione corretta dell'Uovo Cosmico (cfr. anche «2×2=3,14» pag. 7), l'impalcatura virtuale di questi cerchi si è rivelata come la chiave di im­pec­ca­bi­li proporzioni.
Ora però si tratta di pura geometria in essenza, ed ecco come ci sfida il loro impiego, dando per scontato il triangolo di fondo, che aiuta a identificarli e dai quali è posto in essere.
Ridefiniamo Phi Φ nella nostra pagina: Φ × (1 + Φ) = 1
Dovrebbe essere acquisito che 1.618: φ non è la definizione della Sezione Aurea: esso non è che Φ addizionato ad 1, dunque di per sé non è un ar­go­men­to primario ma è da considerarsi derivato, per così dire come causa: Φ ed effetto: 1 / Φ.
A compensare l'apparente in­co­mu­ni­ca­bi­li­tà tra i due triangoli aurei, an­co­ra un'an­­te­pri­ma, conseguente ad ap­pli­ca­zioni del­la schiera dei quat­tro cerchi au­rei concentrici con i dia­me­tri in ra­gio­ne Φ, che ac­com­pa­gna­no in­de­le­bil­men­te la struttura del Gran­de Trian­go­lo Aureo, un'autentica miniera di mi­ra­coli.
La 1a cir­con­fe­ren­za e­ster­na [dia­me­tro 1.000] entra in gioco nella più im­me­dia­ta definizione del pen­ta­go­no, e quindi dei triangoli aurei nativi, se soltanto trac­cia­ta con il centro su un pun­to qua­lun­que del­la 2a [dmt. Φ], poiché interseca la 2a in due pun­ti che marca­no vertici op­po­sti del pen­ta­go­no ivi vir­tual­men­te in­scrit­to, sim­me­tri­ci ri­spet­to al cen­tro, na­tu­ral­men­te ma non ne­ces­sa­riamente, pro­iet­ta­ti nella figura sul­la cir­con­fe­ren­za esterna.
Da notare che il cerchio primario co­sì ri­por­ta­to risulta pure tangente alla 3a [dmt. Φ¹;], e a sua volta ai lati del gran­de triangolo (avente ver­ti­ce op­po­sto al nuovo cen­tro) che sem­bra voler rafforzare la re­fe­renza.
Questa nota mi riconduce con mia stessa sorpresa all'indagine prospettica de­li­ne­a­ta nel 2003, riportata nella pagina precedente a proposito della pi­ra­mi­de di Giza da cui tutto lo studio è originato. Un'arricchimento last minute, che po­treb­be amplificare il senso di tale intuizione per i livelli di risonanze.

Naturalmente le coordinate d'intersezione delle due circonferenze cor­ri­spon­dono esattamente a quelle angolari per 18°.
La tecnica ripercorre in un certo senso le orme della prima ricerca del qua­dra­to, che ha iniziato questa pagina; ma in questo caso non si sdop­pia­no cerchi u­gua­li, ma si agisce sul dinamico rapporto aureo di due soltanto, di­mez­zan­do­ne la pre­senza necessaria.
Se consideriamo il pentagono l'espressione vibrante caleidoscopica della se­zio­ne au­rea, il qua­dra­to ne è solo lo scrigno non manifesto.

Forse per questo la pro­ce­du­ra ap­pli­ca­ta alla stella non indulge ai quattro lati, da cui appare con­trad­det­ta in ogni direzione per uno scarto del raggio per di­fet­to di circa lo 0.00192%.
La più appetibile delle analisi suggeriva infatti che in un cerchio di diametro 1, una circonferenza con centro in qualunque punto del suo perimetro e di raggio un doppio Φ al quadrato, quattro volte il raggio del 3º cerchio au­reo, lo in­ter­secasse in due punti tali da sottendere una corda cor­ri­spon­den­te al lato di un quadrato inscritto; ed il primo impatto sembrò incoraggiante.
Persino un caso di stimolante ri­le­van­za semantica, che però a­vreb­be condotto all'esito op­po­sto, e che a questo punto del per­cor­so non rinuncio a ritene­re de­gna di catturare ­la cu­rio­si­tà de­gli stu­diosi, come è stato per la mia.
La figura SVG lo esibisce, ma data la poca manegevolezza di questo nuovo for­ma­to, che qua uso solo a livello illustrativo ap­pros­si­ma­to; ho provveduto an­che in questo caso un PDF di al­tis­si­ma risoluzione e pre­ci­sio­ne, che di­mo­stra l'assoluta ri­spon­den­za del pentagono, con­tro la quasi sor­pren­den­te ir­ri­du­ci­bi­li­tà del qua­dra­to a qualsiasi tentativo di sua di­scen­den­za dal­l'im­pian­to aureo.
Di fatto è il portatore primo della Divina Pro­por­zio­ne, e non ne ha bi­so­gno per essere tracciato. Sembra librarsi in e­qui­li­bra­ta distanza dalle in­ter­se­zio­ni dei cerchi aurei abbastanza ampi da definirlo dall''esterno, o commisurati al­l'in­ter­no, e pure con scarti simmetrici.
Debordano nella stessa direzione e sempre con distanze irrisorie anche l'ap­pli­ca­zio­ne del cerchio Φ2; por­ta­to tangenziale al Φ6, potenzialmente su 4 lati; e quella del cerchio Φ3 tan­gen­te a se stesso o alla base del grande triangolo.
Ho tentato e ricontrollato le varie modalità - dopo essere inciampato in due di­fet­ti del linguaggio PostScript, che alterava le dimensioni del quadrato suc­ces­si­vamente ruotato di 45°, ed il cui comando nativo approssimava il profilo del cerchio (in modo impercettibile), te­nendomi sotto scacco per gior­na­te intere con questo controllo di precisione, fino a che non me ne sono accorto ed ho ap­pli­ca­to funzioni algebriche, più laboriose ma esatte come un software CAD.
Gli scarti rilevati infatti sono quasi invisibili alla vista nor­ma­le, e diventano de­ter­mi­nan­ti solo con una verifica di precisione mi­cro­me­tri­ca; suggerisco il mas­si­mo zoom a partire dall'area cerchiata a trat­teg­gio, incrocio che de­fi­ni­sce il pen­ta­go­no, per prender visione di quali errori possa riservare questa tecnica di indagine; occorre uno zoom superiore al 600% per co­min­cia­re a di­stin­gue­re le due curve, di cui la gialla è quella primitiva e non suf­fi­cen­te­men­te cor­retta.
Al lato opposto i dati esatti di intersezione delle due circonferenze, una di rag­gio 1000.00 e centro in 0,0, l'altra 618.033988749894848.
Il PDF è progettato con la massima attenzione per esibire e dimostrare i mi­ni­mi dettagli, per cui è costruito con linee sottili, a volte sottilissime (0.01pt, Acro­bat ver.5 può non bastare).
Nel PDF le curve maggiori di colore rosso (verdi nella figura svg) di­mo­stra­no i tentativi di in­ter­cet­ta­re i vertici del qua­dra­to inscritto e la ri­sul­tan­te ap­pros­si­ma­zio­ne, la prima in alto af­fiancata in verde da quella che dovrebbe essere la traccia corretta, ossia dal raggio 763.9320225 allo stes­so + 1.465.
Rosse minori al tratteggio, sempre traslate dal sistema aureo, potrebbero a vista risultare tangenti ai lati del quadrato… ma nes­su­na lo soddisfa, lo im­pe­di­sce un nesso proporzionale costante, che sembra sfidare il miraggio.

Questa procedura potrà non essere convenzionale, giacché non mi sof­fer­mo sulla dimostrazione usuale che altri potrà svolgere, ma mi avvalgo di stru­men­ti con i quali la ri­cer­ca corre veloce, e merita di essere segnalata, an­che nei suoi limiti.
D'altra parte il PDF diventato un mezzo di comunicazione prezioso e quasi in­so­sti­tu­i­bi­le per la sua potenzialità (che personalmente ho programmato fin dai primi anni '90) e la portabilità e conseguente accessibilità a 360°.

Nella figura compaiono a complemento del tutto due rettangoli na­tu­ral­men­te connaturati allo schema aureo: il verticale tangente al cerchio Φ¹;, cioè di base uguale al suo diametro ed altezza uguale a quella del grande triangolo; ed o­riz­zon­ta­le, tangente al cerchio Φ, cioè di base uguale al suo diametro, ed al­tez­za misurata dalla sezione aurea dell'altezza e/o del lato del trian­go­lo, quindi distante Φ¹; dal vertice.
Per come lo vedo io, uno schema che evoca sempre più un spartito mu­si­ca­le, portante di melodie che si alternano ed intrecciano vor­ti­co­sa­men­te, ma forse non si accontentano di uno spazio euclideo.

Non è azzardato arguire che l'impianto aureo ren­da in­ter­co­mu­ni­can­ti per le loro pro­prie­tà le figure de­li­ne­a­te in tali processi, non solo in­scrit­te nel cer­chio pri­mo, ma anche correlate alle sue pro­por­zio­ni con­cen­tri­che; af­fa­sci­nan­ti mo­du­la­zio­ni tanto po­co casuali da non poterle igno­rare.
Dovrebbe essere chiaro che in questo caso non attendo ad un compito di ge­o­me­tria manuale, ben­sì ad evidenziare ed approfondire una pro­nun­cia­ta si­ner­gia aurea tra i po­li­go­ni fon­da­men­ta­li (il cui tracciato con riga e com­pas­so è co­mun­que pra­ti­ca­bi­le).
Quel­la di una ge­o­me­tria viva, che parla per ar­che­ti­pi e­le­men­ta­ri e sve­la le sue misteriose con­nes­sio­ni alle radici del di­ve­nire.
Senza contare che è la sola fonte da cui possiamo attingere il vero π.

Tuttavia tornando al quadrato, si può desumere la sua totale non di­pen­den­za (o discendenza) dalla se­zio­ne aurea, che svariati tentativi hanno rivelato ri­get­ta­re, respin­gendola come fos­se una calamita di egual polarità, anche se ogni vol­ta per ap­pros­si­ma­zio­ni mi­ni­me, quasi invisibili in un comune trac­ciato.
Gli è che rispetto al cerchio, il quadrato è una figura basata sull'incrocio per­pen­di­co­la­re di due diametri, o di lati in sim­me­tria parallela o ad angolo retto, tutti aspetti che non hanno alcun bisogno del rapporto aureo, che anzi so­no in grado di rap­pre­sentare con due sole linee, che ne e­spri­mo­no la totale padronanza in­trin­se­ca: un mezzo lato (=1) e la se­mi­dia­go­na­le (5).
Quattro è numero pari per eccellenza, e tutto nel quadrato rientra in una sta­ti­ca parità ed au­to­no­mia, contraddistinta dalle sfaccettature poliedriche del­la stel­la pen­ta­go­na­le, e forse proprio questa insistente apparenza denota una re­al­tà tra­scen­dente.

Tutto quanto affrontato, non senza un ingenuo disappunto iniziale, sembra voler accreditare il principio secondo il quale il qua­dra­to non può derivare dalla sezione aurea, che a sua volta non può essere co­stru­i­ta senza ri­cor­re­re al quadrato; anche se si usa ridurlo al triangolo CDE, che in realtà non ne è che un quarto, ma che comunque non partecipa a que­sto genere di clas­si­fi­ca, non trattandosi che di una figura artificiale arbitraria.
Per contro ovviamente, nessuna figurazione che esponga la sezione aurea, o sia costruita su quella base, può esserne considerata una matrice, o un basamento da cui dedurla.

Grazie per la partecipazione.


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