Tracciare un quadrato di lato AB
con [un] cerchi[o] a raggio invariabile?
Solo un cerchio di raggio AB lo può generare!


Square From Circle Al tracciato per il triangolo e­qui­la­te­ro si ag­giun­ge la bisettrice che u­ni­sce i pun­ti C ed Y di intersezione dei due cerchi, ed un cerchio con il cen­tro in C – passante per A e B – che in­ter­se­chi in X la CY.
Il tratto CX è evidentemente uguale ad AB, ma fruibile solo come rag­gio per un nuovo cerchio con cen­tro in X, che incontrerà le due cir­con­fe­ren­ze iniziali in D ed E, validi a di­mo­stra­re tout court il com­ple­ta­men­to del qua­dra­to ABDE pro­fi­la­to dal [raggio del] 1º cerchio, delineando al suo in­ter­no il quarto di cer­chio esatto, premessa alla finale acquisizione del π geometrico enunciato da questo studio.
Un aspetto in­te­res­san­te che ne deriva è che questo schema offra la pos­si­bi­li­tà, par­ten­do da un triangolo equilatero ACB, di tracciare il qua­dra­to a­ven­te uguali lati.
Non mi adoprerò per una superflua dimostrazione algebrica, essendo il mio intento evidenziare come il cerchio si avvalga di un'interessante sim­me­tria orizzontale e verticale insieme, la prima basata sui due centri, l'altra de­ci­si­va sulle circonferenze, per una sorta di partenogenesi del 3º da XC, come dire un segno di croce, sin­cro­niz­zan­do per quattro volte l'impiego di ‘sé stesso’, ov­ve­ro­sia con un'u­nica mi­su­ra­zio­ne di base, per dare luogo a quel­lo che, se­con­do un π che scopriremo alla fine del trattato, cor­ri­spon­derà ad un quarto del cerchio pur valendo per l'intero.

Come nel suo aspetto immanente l'unità circolare manifesta la sua ci­cli­ci­tà in quat­tro fasi ben distinte, in un periplo or­bi­ta­le come pure in un'onda si­nu­so­i­da­le, così ritengo di dover concettualizzare, o essere in­dot­to a pen­sa­re al­le quat­tro entità in gio­co come se condensassero la loro es­sen­za com­bi­na­ta e riflessa in ciascuno dei lati del quadrato, tra­du­cen­do­la in una unità fi­ni­ta, suf­fi­cen­te ad in­di­vi­dua­re e distillare tutta la chiave me­ta­fi­si­ca π, l'arte di co­niu­ga­re nel di­ve­ni­re i ritmi del tempo a quel­li dello spazio.
È innegabile in tale diagramma il rapporto molto stretto tra cerchio e qua­dra­to: una circonferenza basata sul suo stesso lato, si moltiplica per quattro in un mo­vi­men­to cruciforme, per produrre un quarto di quel quadrato che ge­o­me­tri­camente la riveste e con la quale si identificherà grazie al π de­sun­to a con­clu­sio­ne della nostra ricerca; quasi che la sua valenza venisse ri­pro­po­sta da ciascuno dei quattro orientamenti.
Come già esposto a pag.14 del trattato «2×2=3,14»

Se il triangolo è tre [spirito], il quadrato è quattro [materia] e il pentagono è cinque [trasformazione], dovremo pensare il cerchio come Uno [Sorgente dell'essere]
con il centro zero, ed in tal modo attribuire il due alle estremità del semplice segmento [dualità, transito, polarità, raffronto, connessione].
Ogni punto, come gli estremi del segmento, è il centro di un cerchio potenziale, che rappresenta tutto ciò che gli sta intorno; ma se virtualmente il numero di cerchi è infinito, uno solo è quello che definisce anche il segmento, ed è il cerchio che attraversa l'altro estremo, facendone il suo raggio. Pertanto, lo ‘sdoppiamento’ dell'Unità in due cerchi non può che assumere una valenza attuativa della realtà lineare tangibile.
Anche se non ne abbraccia tutta l'ampiezza, come pure in ogni figura a­ven­te un numero di lati maggiore di 4, se mi è concesso poter considerare il raggio del cerchio – l'unica misura che lo definisce, che lo traccia e che lo calcola – come il suo ‘lato’, as­si­mi­landolo a quello di ogni altra figura po­li­go­na­le, si ma­ni­fe­sta senza com­pro­mes­si quel rapporto dinamico dall'uno al quattro.

È in questo senso che si evince la necessità essenziale di quattro cir­con­fe­ren­ze di pari raggio per delimitare il quadrato e per contro, giacché la fi­gu­ra ri­sul­tan­te è ¼ di ogni cerchio, ne occorreranno quattro per com­ple­ta­re il cer­chio intero.
Sarà solo un gioco di parole? può darsi; ma si applica unicamente a questa so­lu­zio­ne che rende anche la più ambìta.
Mi ha fatto riflettere per giornate intere, essendo il più efficente e compatto tra tutti gli schemi per profilare un quadrato, e a quanto mi risulta non è mai sta­to raggiunto prima d'ora in questo modo, a differenza del triangolo e del pen­ta­gono.

area: π r2perimetro: 2 π r
Lo conforta il profilo algebrico per il quale, facendo riferimento ad ¼ di π, si scan­di­sce l'area con (r×r) × π /4 e l'arco di circonferenza con (r+r) × π /4.
Fin dalla conclusione del primo lavoro sull'argomento («2×2=3,14», con­fi­den­zial­men­te: “due per due uguale a tre e uno quattro”), mi convinco sem­­pre più che per capirlo veramente, il π vada ricondotto al quarto di cerchio.
Mi sforzavo nella mente di rendere palese una siffatta intuizione, fintanto che la geometria stessa mi è giunta in aiuto:

Si può osservare come il sistema di cerchi che conglobano il quadrato risulti a loro volta natura­l­mente inscritto in un quadrato che li delimita su tutti i lati. Infatti le sue dimensioni dipendono dalla doppia e uguale for­ma­zione di due cerchi, sia orizzontale che verticale, arrangiata in modo che esso corrisponda alla proiezione del quadrato virtuale costruito e centrato sulla croce CX-AB, attraversandone le diagonali e i vertici; una so­lu­zio­ne sor­pren­den­te per la sua unicità e che, rispettando le premesse con­te­stua­li, appare ir­rag­giun­gi­bi­le senza pas­sa­re per il quadrato ABDE; quasi de­sti­na­ta a rimanere un mistero.
Ancora un dato degno di nota è che il lato del quadrato circoscritto ha lun­ghez­za pari a tre volte AB, come si verifica dalla tangenzialità ai due cer­chi cen­tra­ti sui suoi estremi. Lo stesso accade per i due da C ed X.
Con i quattro cerchi così disposti avevamo quindi definito virtualmente an­che il quadrato che li avvolge, che si può reinterpretare come la dominante la­ten­­te dell'insieme.

Quattro cerchi uguali e sim­me­tri­ci (compasso) – tre centrati ai ver­ti­ci di un tri­an­golo e­qui­la­te­ro di identico lato;
due segmenti risultanti a croce (righello) – quello orizzontale è di a­per­tu­ra, il ver­ti­ca­le è risolutivo.
Sembra un man­da­la sul quale meditare!

Sample square From Circle È, comunque lo si interpreti, il più af­fa­sci­nan­te paradigma di come il cer­chio possa ge­ne­ra­re il quadrato di una dimensione vo­lu­ta, o che abbia un lato nel suo raggio, as­sai più che passando per riga e com­pas­so, data la sua intrinseca proprietà virtuale.
Per disegnare semplicemente un quadrato avrei potuto utilizzare il me­to­do a lato, da AB a C ed Y, per poi da D e B incrociare il ver­ti­ce E; o un altro oc­ca­sio­na­le e pla­u­si­bi­le, ma che cosa ci avrebbero insegnato? Inseguire vertici e lati di una fi­gu­ra non sem­pre corrisponde ad esplorare la Mente creativa, per va­lo­riz­za­re la dif­fe­ren­za tra Intelligenza madre e per­cor­so ge­o­me­tri­co speculativo.
Mentre il primo è un'integrazione viva di cerchio e quadrato, il secondo è so­lo un trac­cia­men­to di un quadrato mediante più usi del compasso.

Un risvolto esoterico da non trascurare …

la Vesica-Piscis aleggia in p.za S. Pietro
del Vaticano, ancorché in modo inesatto, essendo meno probabile una distorsione prospettica dal satellite.
è il fatto che tale soluzione tragga le fondamenta dalla universalmente ce­le­bra­ta figura chiamata Vesica Pi­scis, nota anche come "mandorla mi­sti­ca", sim­bo­lo della Dea Madre o l'Eterno Femminino, tramandata al­la base di di­ver­se etnie, dall'antica Me­so­po­ta­mia all'Africa e dall'India alle civiltà a­sia­ti­che, infine a varie culture Eu­ro­pee, per le sue im­pli­ca­zio­ni plastiche e mi­ste­rio­so­fi­che ma anche ma­te­ma­ti­che. Infatti la scis­sio­ne che dal cerchio Uno genera la du­pli­ci­tà creativa, in quanto regolata dal triangolo ai centri ed ai punti di intersezione, nonché, al suo centro o­riz­zon­ta­le, dalla stes­sa 3 – ossia CY, su AB = 1 – e con essa la po­la­ri­tà di positivo e ne­ga­ti­vo, Yin e Yôn, (o Ying Yang) è con­si­de­ra­ta come la sor­gen­te, padre/madre, di tutte le forme immanenti, e già questi brevi passi paiono con­fermarlo; è sostanziale ri­le­va­re da questo in­trec­cio e per coerenza se­man­ti­ca, come essa sia ge­ne­ra­ta dal triangolo, per poi dare vita o sostanza al qua­drato.
Senza contare che tramite op­por­tu­ni reticoli ricavati dai suoi punti di in­ter­se­zio­ne essenziali, e sempre secondo le regole iniziali consentirà di mi­su­ra­re geometricamente le radici quadrate dei numeri da 2 a 10!
In pratica, la relazione tra i primi due cerchi si riproduce in altri due, dando luogo ad una seconda Vesica Piscis intorno a CAB, imperniata a 90° su un lo­ro punto di in­con­tro, C nella figura sottostante, che consente di trac­cia­re il tri­an­go­lo equilatero in­scrit­to, senza dover prolungare AB fino a T.

Rimane da ram­men­ta­re quel­la che è ve­ro­si­mil­men­te la più si­gni­fi­ca­tiva e­vo­lu­zio­ne della fi­gu­ra base di due cerchi che, con l'ag­giun­ta o­riz­zon­ta­le di un ter­zo cer­chio con centro sulla cir­con­fe­ren­za del 2° e sim­me­tri­co al 1°, portato in ro­ta­zio­ne ri­pe­tu­ta di 60°, svi­lup­pa in qualsiasi di­re­zio­ne il co­sid­det­to ‘Fiore della Vita’

Dalla vescica metafisica al pesce
Con il prolungamento la­te­ra­le dei due archi minori fino ad incontrare i due ver­ti­ci in­fe­rio­ri del nostro quadrato – dan­do luogo a quegli archi di cerchio che ri­marcano il π – si va a dotare la vescica na­ta­to­ria della co­da che com­ple­ta il pro­fi­lo di quel ‘pe­sce’, as­sun­to fin dagli albori come sim­bo­lo del­la cri­stia­ni­tà e chia­ma­to “Ichthys”, os­sia “pesce” nel greco an­ti­co, di­ve­nu­to l'a­cro­ni­mo che dis­si­mu­la­va:
"Iesus Christos Theios Yios Soter", cioè "Gesù Cristo di Dio Figlio Sal­va­tore".
Un attributo che peraltro, in quanto alla precessione degli equinozi, ec­heg­gia i trascorsi 2000 anni per la corrispondente era zodiacale dei Pesci. Basta esaminarne la figurazione, sia nella sua forma ideografica:che de­­scrit­ti­va:, per rendersi conto della coerenza simbolica, rappresentativa di quanto stia­mo studiando.
Da notare che a differenza dal font qua riprodotto, nell'iconografia classica i due pesci risultano collegati da un'unica lenza, o comunque da una sorta di cintura, concetto rispettato dai simboli pur con un semplice trait d'union, ma quasi del tutto ignorato da quegli illustratori che probabilmente non se ne fa­reb­be­ro una ragione. Un'apparente nonsenso, che invece la spiegazione ce l'ha! Eccone una minuscola rassegna catturata dal Web, comunque rara:

È dunque quel quadrato nella sua posizione a portare in atto per l'era cri­stia­na la grande potenzialità del simbolo.
Rileva altresì dallo stesso diagramma la risultanza fin troppo inosservata del triangolo equilatero CYT, originato dalla Vesica Piscis, il cui lato in­scrit­to nel cerchio di raggio 1 è la ra­di­ce qua­dra­ta di 3.
Come dire che il lato di tale triangolo equivale al lato di un quadrato con area 3, un modo che evidenzia come la scienza dei numeri evochi da presso la ge­o­me­tria e le implicazioni me­ta­fi­si­che del quadrato.
In generale, il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza ha sem­pre valore 3×r e la sua altezza è ¾(2×r) o 1,5×r.
L'impianto qua rivelato ne garantisce in modo e­sclu­si­vo la fattibilità di­ret­ta ed im­me­dia­ta, pro­get­to assai più laborioso da realizzare diversamente, an­che sen­za seguire la nor­ma qua proposta, cosa che sembra giustifichi il pro­li­fe­ra­re di disegni a mano libera.
Si potrebbe anzi notare a questo punto che ciascuno degli archi misura 150°, non lontano dal tanto argomentato numero 153, che persino sui Van­ge­li [Gio­van­ni ¶21:11] viene citato come numero di pesci nella rete, per un miracolo voluto da Gesù. Pur non essendo mio intento ricamare sulle no­te­vo­li virtù ma­te­ma­ti­che del 153, non posso non soffermarmi a suggerire ai ricercatori che una misura speculare di 150 (la cui somma numerologica è 3, da 1+5+1+5 ), dunque intessuta ed unificata da un triplo 3, detta somma = 3, la radice qua­dra­ta di 3 ed il triangolo portante, possa ritenersi integrata nel caso speciale dalla cifra 153.
La portante triangolare che do­mi­na lo schema mi ha in­dot­to ad approfondire ul­te­rior­men­te il costrutto, ed ec­co emergere una so­lu­zio­ne an­­cor più stringente fatta di, e dedicata a soli tre cerchi, ca­pa­ci di dar luogo e con­te­ne­re in duplice assetto lo stes­so im­man­ca­bi­le qua­dra­to.
Lo suggeriva infatti la base del triangolo equilatero maggiore, che in­ter­se­ca nel punto X il terzo cerchio centrato sull'incontro di CY con AB (centro di tutta la figura); ma in realtà solo come esito di una analisi grafica com­po­si­ti­va che, pur non essendo praticabile con righello e compasso, essendo i­de­al­men­te educativa sotto il profilo simbolico merita di essere osservata. .
Come il diametro del 3° cerchio, pas­san­te per CY interseca in Y il 1° cer­chio [con centro in] A, così il dia­me­tro di que­sto, passante per AX per pa­ral­le­li­smo di­mo­stra­to dalla sim­me­tria dei due cerchi, incontra in X il cerchio cen­tra­le ove XY è ½AB, per estendersi ad E che si unisce a D alla base del cer­chio B.
Ne deriva che il cerchio B sviluppa la triangolare simmetria che ci regala la per­pen­di­co­la­re ad AB quale diametro verticale del cer­chio A, quindi i lati del doppio quadrato sottostante e soprastante, nonché i sim­metrici sul cer­chio opposto.

A dirla tutta, non saprei dire quale delle due perle sia la più preziosa, per di­mostrare la simbiosi quadrato~cerchio che mi sono prefissato.
Oserei affermare che se la prima il­lu­stra­va una sorta di gestazione del qua­dra­to, im­per­nia­ta sul quaternario, que­st'ul­ti­ma ne rap­pre­sen­ta il doppio con­ce­pi­men­to per ri­fles­so del ternario; ed è proprio per questo che ho inteso illustrarla.
Entrambe svelano in modo profondo il pro­ce­di­men­to atto a certificare la sacralità ge­o­me­tri­ca ed e­so­te­ri­ca della Vesica Piscis – emblema del pro­ces­so cre­ativo – e del­l'Ich­thys, al di là dei gad­gets più o meno improvvisati alla moda.

A questo punto però si impone la ri­go­ro­sa distinzione: mentre la prima so­lu­zio­ne – processata in figura a lato – pre­sen­ta tutti gli e­stre­mi per il trac­cia­men­to teorico, della seconda non è fat­ti­bi­le tracciare il 3° cerchio, man­can­do ogni riferimento al punto a cui e­sten­de­re il compasso, una volta col­lo­ca­to sul nuo­vo centro.
Anche se si è stabilita dall'inizio la re­go­la di un'apertura fissa, utilizzarla ad hoc po­treb­be contraddire il canoni della nor­ma­le prassi; tuttavia non e­sclu­de­rei che questo contribuisca ad esaltare il carattere trascendentale della formazione.

32 + 42 = 52
Pentagono da 5 Cerchi Pur non tralasciando il fatto che il quadrato è lo scrigno nativo del­la Se­zio­ne Aurea, per e­vi­den­zia­re la quale avevo già trac­cia­to il Pen­ta­go­no concavo e con­ves­so com­bi­nan­do Φ e φ, non poteva man­ca­re quella so­lu­zio­ne del Pen­ta­go­no che in­te­gras­se con al­tret­tan­ta e­le­gan­za i pre­sup­po­sti te­sté af­fer­mati.
È ap­pron­ta­ta, grazie al 3º cer­­chio con centro in Y, dalle cui in­ter­se­zio­ni E e D in­cro­cian­do la x si giun­ge ai cen­tri­-ver­ti­ci F e G e da que­sti al vertice del pentagono naturalmente con cinque cerchi. Pentagono a stella con 3 Cerchi
Ma non è tutto. Anche se quat­tro sa­reb­be­ro sufficenti pro­lun­gan­do la YC fino ad in­ter­se­ca­re un quar­to cer­chio nel punto w, non mi fer­mo qua, potendo ot­te­ne­re una stella che quasi si co­stru­i­sce da sola, e che da con­ca­va de­fi­ni­sce il verso con­ves­so, ancora una volta con tre soli cer­chi.
L'intersezione D del 3º cer­­chio at­tra­ver­san­do il punto x rag­giun­ge il 1º cer­­chio in E, da cui il trat­to EB – che è già un lato del­la stella – interseca il 2º cer­­chio (centro in B) nel punto e, che a sua volta consente di pro­lun­ga­re Ae fino all'apicale pun­to w e di unire altri due lati a G, lascio sce­glie­re come…

È il caso di precisare che, nel simbolismo astrologico, le due forme del pen­ta­go­no sono sinonimi di mediazione, trasformazione, evoluzione: la figura con­ves­sa è innovativa e creativa, la concava è distruttiva o sostitutiva.

A conclusione di quanto abbiamo visto, la pro­ce­du­ra di rigore proposta al­l'i­ni­zio, pur avendo trovato da sempre l'implicita soluzione per il triangolo, ed in più di un modo applicazioni note per il pentagono, non aveva mai in­con­tra­to risposte per il quadrato, rimasto oggetto di costrutti facili quanto su­per­fi­cia­li, nonostante le sue implicazioni più emblematiche ed universali cardini della realtà ad ogni livello di studio e conoscenza.



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